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Complexes : vision géométrique

En géométrie, on peut repérer un point de deux manières. La première consiste à utiliser ses coordonnées (abscisse et ordonnée), ce qui correspond au complexe A + B. La deuxième manière est d'utiliser sa distance par rapport à l'origine et l'angle qu'il forme avec l'axe des abscisses. Cette méthode permet de trouver un point unique. La norme du vecteur OM est équivalente au module du complexe Z associé et l'angle entre le vecteur OM et l'axe OX est appelé l'argument de Z. On peut représenter une distance AB comme la différence entre deux nombres complexes (ZB - ZA). Un concept important à retenir est que lorsque vous devez trouver l'ensemble des points vérifiant une relation, il est possible de traduire cela en termes de distances et d'utiliser des complexes pour trouver la médiatrice ou le cercle correspondant. Si vous avez une relation du type Z - ZA = Z - ZB, vous savez que les points correspondants sont sur la médiatrice de AB. Cette technique est très courante et doit être maîtrisée. Il est important de reconnaître ces situations dès le départ et de ne pas les redécouvrir à chaque fois.

En géométrie, il va exister deux manières de repérer un point. Je vous ferai le lien avec les complexes dans une seconde, mais je vais faire un petit rappel. Un point, on peut le reconnaître, on peut le trouver de manière unique avec une abscisse, une ordonnée. Voilà mon point Z, il est d'abscisse A, d'ordonnée B, et on a dit qu'on pourrait associer ça au complexe A plus B. Il existe une autre manière d'identifier un point du plan. On peut dire qu'un point du plan hors l'origine, vous allez comprendre pourquoi, peut être défini comme sa distance à l'origine. C'est pour ça qu'il faut qu'il soit distinct de l'origine. Quelle est sa distance à l'origine ? La petite question pour vous, quel est l'ensemble des points qui sont à une distance donnée de l'origine ? Je prends celui-ci ensuite, il y a aussi celui-là, celui-là, etc. Si vous avez compris, l'ensemble des points à une distance donnée de l'origine, ça fera un cercle. Ce n'est pas suffisant pour trouver le point M, une distance. Si je combine cette distance à l'origine avec l'angle, c'est ce qu'on a vu en trigo normalement en première terminale, avec l'angle que fait le vecteur OM avec l'axe OX, ce qu'on a vu en trigo encore une fois, alors j'ai un point unique. J'ai un point unique qui est celui-ci. Pour une distance donnée à l'origine, j'ai tout un cercle de points, mais une distance plus un angle ne donne plus qu'un seul point. Une fois que j'ai la norme de OM et l'angle que fait OM avec l'axe des abscisses, j'ai trouvé mon point. Ça, ça va se traduire très facilement avec les complexes également. On se rend compte que la norme du vecteur OM, c'est en fait le module du complexe associé Z, la fixe, et on va appeler cet angle entre le vecteur OM et l'axe OX, l'argument de Z. Pour penser uniquement au complexe, on va remplacer la norme du vecteur et l'angle fait entre le vecteur OM et l'axe par les mots module et argument de Z. Ce qui est intéressant ensuite, c'est si on va regarder ça en termes de module, on va regarder ce qu'il se passe. On a dit que la distance AB, c'était la norme du vecteur AB, par la norme du vecteur AB, on sait que le vecteur AB a une affixe ZAB. Donc on va pouvoir dire que le vecteur AB, sa norme, c'est égal au module de ZAB, et ZAB, on a vu dans une vidéo précédente que c'était égal à ZB-ZA. Donc on peut dire que toute distance AB peut s'écrire comme une différence de deux nombres complexes, ZB-ZA, par la différence des deux nombres complexes associés AB et A. Ce qu'il faut savoir ensuite, à partir de ce petit rappel de cours, un truc vraiment capital des exos qui tombent tout le temps, c'est reconnaître, sachant que ça c'est une distance, ça, ça correspond à la distance AB, reconnaître dans certaines équations qu'on vous donne, on vous dira reconnaissez, s'il vous plaît, donnez-nous l'ensemble de points qui vérifient une relation, il faudra que vous soyez capable de reconnaître la traduction avec des complexes de médiatrices et de cercles. Donc ici, vous verrez dans la vidéo d'après pour l'autre exemple, ici, je vais vous montrer que dès qu'on vous dit trouver l'ensemble des points, qui est un exos ultra classique, une méthode vraiment à maîtriser, qui vérifie cette relation, tout de suite, il faut bien traduire ça en distance, et on sait quand on voit ça que c'est en fait une droite qui sera une médiatrice. Je vous montre pourquoi. Je vous fais une définition très simple. Quand on a deux points dans le plan, on sait qu'un point M, donc si j'ai un point A et un point B, un point M appartient à la médiatrice de AB, donc j'ai AB le segment, un point M va appartenir à la médiatrice si et seulement si il a une distance égale de A et de B. Donc c'est le centre, mais également tous les points qui sont sur cette droite médiatrice, c'est-à-dire qu'il coupe en deux le segment AB et qu'il lui est orthogonal. Ça, c'est une définition de collège. Donc on sait qu'on appartient à la médiatrice de AB si AM la distance égale BM la distance. Très bien. Traduction en complexe avec la propriété vue au-dessus, la distance AM, c'est Z, Z c'est le complexe associé à M, donc Z moins ZA, et BM c'est Z moins ZB. Bon, c'est réglé en fait. Dès que je vois un Z moins ZA, ou un point A défini, et Z moins ZB, je comprends qu'en fait je parle de points qui sont sur une médiatrice. Je peux le faire dans les deux sens. Je vous ai montré qu'un point M sur une médiatrice, on peut traduire ça en complexe. Ensuite, quand vous voyez ça, il faut faire le chemin inverse et se rendre compte que ça représente une médiatrice. Comment on fait ça ? Le premier truc à faire quand vous voyez la première relation, c'est de faire apparaître un Z moins ZA. Vous avez Z ici, il faut faire en sorte d'avoir moins ZA ici, donc qu'est-ce qu'on fait ? Je mets un moins, je force, je mets des parenthèses autour de tout ce qu'il y a après, je vois que c'est Z moins 8 moins 2I, je dis qu'il y a un point A d'affixe 8 moins 2I, et ce truc-là devient bien un Z moins ZB. Pareil pour l'autre côté, on m'a dit Z moins 3 moins 2I, je mets Z moins, je le force avec des parenthèses, je dis que ça c'est associé à un point B d'affixe 3 plus 2I, et j'ai donc ici Z moins ZB. Et quand on me dit quel point vérifie cette chose égale à cette chose, je me rends compte que j'ai bien Z moins ZA égale à Z moins ZB, et je sais, maintenant vous le savez en tout cas, que l'ensemble des points qui vérifient ça sont les points qui parcourent la médiatrice de AB. Vous définissez à chaque fois un point, c'est bon il est fixé dans le plan, le point B ici, il est fixé dans le plan, je comprends que les Z qui vérifient ça égale ça sont tous les Z associés à des points qui sont sur la médiatrice. Technique à connaître par cœur, vraiment très très classique, il ne faut pas hésiter quand vous avez un problème directement comme ça, savoir que c'est la médiatrice, ou quand vous arrivez après plusieurs questions à ça, on a une médiatrice. Très classique, à connaître par cœur et pas à redécouvrir à chaque fois, en terminant. Je vous retrouve, posez vos questions, je vous retrouve dans la prochaine vidéo pour quelque chose d'autant classique que ça.

Savoir-faire : les médiatrices

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