Home

2BAC SM Maroc

Maths SM&SP

Algèbre

Complexes : vision géométrique

Ce cours présente une méthode pour résoudre un exercice de mathématiques qui implique des nombres complexes. L'objectif est de trouver une forme exponentielle pour l'expression Z + Z' et Z - Z'. Pour cela, il est recommandé de factoriser les expressions en utilisant une astuce appelée "factorisation par l'angle moitié". Cette astuce consiste à créer une expression contenant un nombre et son conjugué, ce qui permet d'obtenir une forme plus simple. Ensuite, il est possible d'utiliser cette forme factorisée pour résoudre des équations ou résoudre des problèmes. Il est important de vérifier la positivité des angles pour trouver la forme exponentielle correcte. En résumé, il s'agit de factoriser les expressions, utiliser la formule de la somme ou de la différence des exponentielles, et vérifier la positivité des angles pour obtenir la forme exponentielle correcte.

Une méthode ultra classique, en fait ici je vais vous faire un petit cours un peu du supérieur parce que je pense pas que l'exo le but de l'exercice c'est pas de vous le faire trouver, enfin on peut essayer je pense que c'est plus intéressant de vous introduire la méthode l'idée c'est pas de se martyriser en mode j'ai pas trouvé c'est plus d'accepter que ça existe et à terme en fait vous vous rendre compte de ce que c'est le genre de raisonnement qu'on va demander dans le supérieur c'est à dire il faudra connaître ce genre de petites astuces, de petites formules et savoir les réutiliser pour vous débloquer dans des exos. Bon je vous explique, je vais vous raconter des trucs On a Z et Z' qui sont deux nombres de module 1 donc qui s'écrivent sous la forme E de I d'état et on vous dit trouvez une forme exponentielle de Z plus Z' et Z moins Z' ça c'est un peu vous dire en gros factorisez moi tout ça, là je vais avoir E de Ipi sur 6 plus E de Ipi sur 4 on n'aime pas avoir un truc plus machin, on n'aime pas ça de la même manière qu'on n'aime pas avoir X2 plus 3X plus 5 et on vous dit ça il y a une forme canonique on aime bien avoir du X à un seul endroit, on aime bien factoriser les choses, pourquoi ? parce que derrière souvent vous allez pouvoir résoudre une équation, débloquer un problème, on aime bien faire ça là il y a une astuce, une manière de faire dont je vous fais le cours carrément de la formule qu'on voit en général dans le supérieur voilà l'idée c'est de factoriser l'idée c'est de faire apparaître dans la formule un nombre et son conjugué pour avoir une expression un peu simple donc pourquoi ? pour se baser là dessus, si j'ai un nombre et son conjugué, en somme par exemple, j'ai la formule Z plus Z barre égale deux parties réelles de Z qui s'applique, donc là je l'applique avec ces trucs là, c'est pas ça je vais combiner ça avec donc une factorisation par l'angle moitié, l'angle moitié c'est quoi ? c'est ni alpha ni bêta, c'est bien alpha plus bêta sur 2, le genre de milieu entre alpha et bêta quand je factorise, qu'est ce que je fais apparaître ici pour avoir alpha ? il me faut, j'ai du alpha sur 2 là dedans, il me faut encore du alpha sur 2, pour faire du alpha, j'ai du bêta sur 2, je n'en veux pas, je ne veux pas de bêta sur 2 donc je fais du moins bêta sur 2 ici exactement de la même manière, j'ai du alpha, je n'en veux pas ici, je fais donc moins bêta sur 2 j'ai du bêta sur 2, il me manque un petit peu pour faire ce terme là de bêta je rajoute du moins moins, du plus bêta sur 2, et moi je l'ai écrit en moins, pourquoi ? pour me rendre compte que j'ai le même angle alpha moins bêta sur 2 avec un plus et un moins, donc j'ai un Z et un Z barre je combine cette intelligente factorisation par l'angle moitié qui est une astuce à connaître encore une fois comprenez la bien, posez moi des questions s'il y a besoin bien sûr, retenez et ensuite vous pourrez utiliser, bon vous allez me dire peut-être qu'en terminale c'est pas le plus utile mais ce sera utile dans le genre c'est un peu ce que je vous dis souvent ça sera utile pour le dernier exo, pour discriminer entre celui qui a, là on est au niveau où on discrimine entre celui qui a 17 et 20 le dernier exo de votre DS en terminale, il y aura peut-être besoin de cette astuce qui est des fois présentée dans les bouquins de maths donc voilà donc ça vous donne ça, vous vous rendez compte que ça c'est du Z plus Z barre sous cette forme là donc c'est-à-dire un nombre plus son conjugué mais pour un nombre de module 1, ça fait donc 2 cos theta donc je remplace cette chose là par 2 cos l'angle un peu moche, alpha moins bêta sur 2 et donc j'ai la somme qui vaut 2 cos alpha moins bêta sur 2 fois exponentielle de I alpha plus bêta sur 2 qui est ici est-ce que j'ai trouvé la forme exponentielle ? Oui et non, il ne faut pas se tromper, donc j'ai la même chose ici avec je pourrais aussi faire la même chose pour la différence pour la différence, je ne l'ai pas rédigé complètement, mais la différence vous faites la même chose et vous obtenez ici un moins sauf que vous avez E de I theta moins E de I theta donc normalement je l'ai vous avez appris ça, c'est pas ici que je vais vous l'apprendre, qui vaut 2I sin theta en gros l'idée c'est Z moins Z barre sur 2I égale im de Z c'est cette formule-là appliquée à E de I theta donc quand je l'applique j'ai un 2I ici puis j'ai le sinus puis la même chose très bien, est-ce que, la question piège est-ce que j'ai ici la forme exponentielle ? et bien pas exactement on pourrait croire qu'on a la forme exponentielle vu qu'on a une exponentielle ici et un module ici et quel est le truc, j'ai même fait une petite vidéo erreur à éviter, quel est le truc auquel il faut penser ? il faut penser à la positivité de cette chose là donc réfléchissez-y selon la valeur des angles que vous aurez selon la valeur des angles vous allez avoir deux cos alpha moins beta sur 2 qui sera positif mais qui des fois sera négatif, donc le module de ça c'est la valeur absolue de deux cos alpha moins beta sur 2 et donc l'argument de ce nombre c'est soit alpha plus beta sur 2 si ça c'est bien positif mais si c'est négatif qu'est-ce qu'il faut faire ? multiplier par E2Ipi et donc on aura un angle, un argument pi plus alpha plus beta sur 2 de la même manière ici, module 2 sin alpha moins beta sur 2 si et seulement si sin alpha moins beta sur 2 est positif, s'il est négatif il faudra mettre un signe moins, en tout cas mettre un petit module ici et faire dégager ça quel est ensuite le quel est le l'argument ? il ne faut pas oublier qu'il y a alpha plus beta sur 2 ici, oui fois I, I c'est E2Ipi sur 2, donc il faut rajouter pi sur 2 fois potentiellement E2Ipi si ça est négatif, donc attention, vraiment attention à bien faire gaffe à la valeur du signe de ce truc là, donc la formule que je vous donne moi un peu de cours c'est la somme de deux exponentielles est-ce que c'est la forme exponentielle uniquement si on est bien sûr que le module est positif voilà pour les deux donc je vous l'ai mis comme ça, c'est un peu la nuance donc pour répondre à la question il faudrait dire selon le signe on aura ceci cela sachant moi je vous fais le cours là donc je fais le cours général donc ce qu'il faut connaître par coeur c'est ça, ce sont des formules de somme et différence, ce ne sont pas nécessairement ces choses là en tout cas, les formes exponentielles, voilà j'ai bien insisté qu'à particulier classique de ces formules qui est très intéressant à connaître bah quand bêta va au zéro ça tombe tout le temps cette formule donc ça fait un truc assez joli de la même manière ce n'est pas spécialement la forme exponentielle ça dépend du signe de cosθ sur 2 et enfin pour l'exercice présenté vous n'avez qu'à prendre la formule et à l'appliquer avec π sur 6 et π sur 4 vous l'appliquez, vous voyez ce que ça donne et je vous laisse travailler, posez des questions s'il y a besoin essayez de le faire vous même, moi je vais vous faire ce petit cours sur cette très belle et très pratique formule à bientôt, posez des questions et je vous retrouve dans une prochaine vidéo, bye bye

Astuce : angle moitié

RELATED

Recommended videos

test

Affixe, vecteurs et complexes

Forme trigo, Forme expo