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Algèbre

Complexes : vision géométrique

Dans ce cours, l'objectif est de trouver une expression pour cos3θ en fonction de cos2θ. Pour cela, on utilise la formule de Moivre : E2iθ³ = cos3θ + isin3θ. On sait que la partie réelle de E2iθ³ est cos3θ, ce qui nous intéresse. On utilise ensuite la formule du binôme de Newton pour développer (cosθ + isinθ)³ et identifier les termes ayant une partie réelle intéressante. On obtient ainsi cos3θ = cos³θ - 3cosθsin²θ. Pour se débarrasser du sin²θ, on utilise la formule trigonométrique fondamentale cos²θ + sin²θ = 1. En remplaçant sin²θ par 1-cos²θ, on obtient finalement cos3θ = 4cos³θ - 3cosθ. Ainsi, on a isolé cos³θ en fonction de cosθ. Cette méthode d'identification et de manipulation des expressions est très courante en mathématiques.

Du très très très classique encore, on va faire un petit peu de trigo grâce au complexe. On vous dit, trouvez-moi cos3 en fonction uniquement de cos2θ, cos3θ donc en fonction de cos2θ et en fonction de cos3θ. On va toujours jouer sur un peu le même facteur, la même astuce que je vous ai présenté dans une méthode difficile précédente, c'est qu'on va jouer sur le fait qu'il y a deux écritures possibles pour la même chose, et ensuite on va identifier ces deux écritures pour espérer trouver une relation entre les choses qu'on nous propose. Donc, premier truc que je fais, vu que je vois du cos3θ et je vois du cos3θ, je comprends que je vais jouer sur E3iθ, c'est-à-dire E2iθ³. Donc E2iθ³, c'est très simple, en fait ça on appellera ça la... Ce que je vais vous faire en fait, c'est... Cette formule-là, on appelle ça la formule de Moivre. Je ne sais pas si tous les profs donnent le nom, donc je ne vais pas l'écrire non plus, mais je vous le dis comme ça, donc c'est Moivre au cas où. Moivre comme ça. Je ne sais pas si tous les profs la nomment, donc je fais attention, mais... Voilà, E2iθ³, c'est cosθ plus isinθ, le tout au cube par définition. E2iθ³, par propriété de l'exponential complexe, nous donne cos3θ plus isin3θ. Je sens venir la solution. Ici, j'ai ma partie réelle qui vaut exactement cos3θ, ça m'arrange, moi j'ai une relation entre lui, lui et lui. Ça ne m'intéresse pas trop le sine, donc je ne vais pas m'occuper de la partie imaginaire, mais je sais que ce truc-là a la même partie réelle que celui-ci. J'espère donc que ce machin-là aura une partie réelle intéressante qui s'exprimera en fonction des deux autres termes qui m'intéressent. Comment faire ? Ici, je vois que j'ai A plus B au cube. A plus B au cube, c'est le binôme de Newton, ou bien tout bêtement, c'est A plus B au cube connu par cœur. Donc soit vous réappliquez dans votre tête le binôme de Newton, soit vous avez fini par apprendre la formule A plus B au cube. Je vous conseille, honnêtement, c'est A3 plus 3A²B plus 3AB² plus B³. À force de l'utiliser, ça revient, sinon vous la retrouvez avec Newton. Donc, je développe la n°1 et j'identifie la n°2. Je fais exactement la formule que je viens de vous montrer. Là, je le fais étape par étape. A³ plus 3A² plus Isinθ plus 3cos² plus Isinθ² plus I³sin³θ. On ne se trompe pas, I²-1, I³-I. Donc, ces deux termes-là seront parties réelles. Ces deux termes-là auront encore du I et vont faire le côté imaginaire. Je sépare bien. Ce truc-là devient –3cosθsin² et ce truc-là devient –Isinθ³θ. Je mets ensemble les jaunes, je mets ensemble les verts, et je peux obtenir maintenant une identification entre ma partie réelle qui est ici et ça. Je peux déjà dire cos3θ égale cette chose-là. Moi, je veux cos³θ, donc je peux dire cos³θ égale cos3θ plus ce machin-là. Je suis un peu embêté parce que là, il y a encore du sinus. Moi, j'ai une expression où il n'y a pas de sinus. Il faut donc que je me débarrasse du sin²θ et que je trouve une manière pour ce sin²θ d'apporter du cos. Normalement, c'est assez simple. C'est la formule fondamentale de la trigonométrie, cos² plus sin² égale 1. J'y vais. J'ai donc cos3θ égale tout ça. Très bien. Je remplace sin²θ par 1-cos²θ, exactement comme je viens de vous dire. On met ça là-dedans. Je fais le calcul. Là, je détaille bien, histoire de bien être clair. Qu'est-ce qu'on obtient ? Une formule assez complète, au final, un peu complexe, mais assez complète. Très, très classique dans le supérieur, cette formule. On finit par la connaître par cœur, honnêtement. cos3θ égale 4cos³θ moins 3cosθ. J'obtiens cos3θ sous la forme d'un polynôme en cosθ. Comme la question me demande spécifiquement d'isoler cos³θ, je fais un petit renversement des termes ici, et j'obtiens cos³θ égale, en mettant de l'autre côté et en divisant par 4, cette formule-là. Retenez encore ce principe unique, vraiment très, très pratique et très courant. Deux écritures, on identifie. Soit exponentielle et algébrique, soit utiliser la trigonométrique ici. Bon, non, en fait, c'est ça, c'est algébrique et exponentielle, en fait, un peu tout le temps. La trigo qui devient algébrique, et l'exponentielle. Ça, c'est souvent une source d'écriture, de calcul, pour, par exemple, cosπ sur 12 dans une autre vidéo, ou bien de trouver... C'est une source qui nous permet de trouver des belles formules. Voilà. Posez vos questions dans les commentaires s'il y a besoin, et je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Bye-bye !

Linéariser cos³ !

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