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Algèbre

Complexes : vision algébrique

Dans ce cours, Paul aborde plusieurs questions sur les complexes. Pour la première question, il utilise l'inégalité triangulaire pour établir une inégalité. Pour la deuxième question, il explique comment exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de A sur B en fonction des parties réelles et imaginaires de A et B, ainsi que du module de B. Paul suggère d'utiliser les formules qui lient partie réelle, partie imaginaire, module, et le nombre et son conjugué. Ensuite, il calcule les parties réelles et imaginaires de 1+Eialpha et 1+Eibêta. Il fait également référence à la formule de l'air pour simplifier les calculs. Il note que cette formule est très utile dans les problèmes complexes et encourage à la retenir. En conclusion, Paul résume les résultats obtenus et donne quelques conseils pour mieux visualiser les angles complexes. Il termine en soulignant l'importance de comprendre les formules de l'air.

Salut, c'est Paul et on se retrouve pour un nouvel exercice sur les complexes un peu plus compliqués. Vu que c'est un exercice un peu plus compliqué, on va commencer par poser les idées. Première question, on doit établir une inégalité. Cette inégalité-là, ça me fait penser direct à l'inégalité triangulaire. OK, il n'y a rien d'autre à dire là-dessus. Question 2, on doit exprimer la partie réelle de A sur B, la partie imaginaire de A sur B en fonction des parties réelles et imaginaires de A et B, ainsi que du module de B. OK, partie réelle, partie imaginaire, module, tout ça, moi ça me fait penser à toutes les formules qui lient partie réelle, partie imaginaire, module, et le nombre et son conjugué. Donc j'en ai écrit quelques-unes ici. Je les ai écrites, on va voir si ça nous est utile par la suite. OK, la question de B va être sûrement liée à la question A, ou pas, on verra. Alpha et bêta, et calculez deux angles, et calculez la partie réelle de 1 plus Eialpha, 1 plus Eibêta, ainsi que sa partie imaginaire. OK, là on a la partie réelle imaginaire d'une fraction de complexe. On pourrait tenter d'utiliser peut-être la question précédente, parce qu'on a calculé la partie réelle de A sur B. Mais moi j'ai une intuition que, vu qu'on a des exponentielles complexes, surtout sous cette forme-là, pensez à la formule de l'air. Tout de suite, ça fait clic dans la tête. OK, maintenant qu'on a dit tout ça, qu'on a un peu réfléchi vite fait, on se lance dans l'exercice. OK, on met tout ça au propre. Alors, première question. On a dit qu'on partait de l'inégalité triangulaire. Donc d'abord, on pose X et Y, et on part de l'inégalité triangulaire. Donc on la réécrit, par cœur évidemment. Alors là, l'astuce c'est de partir de X, et de dire que X c'est X plus 0. 0 c'est moins Y plus Y, moins Y plus Y, il y a 0. Donc le module de X, c'est égal au module de X plus 0, donc moins Y plus Y. Et là, on utilise l'inégalité triangulaire là-dessus. OK. Et donc, on a un nombre qui est X moins Y, et un autre nombre qui est Y. Parce que je vous rappelle, on veut faire apparaître du X moins Y. Donc le X moins Y, on le veut. Et donc là, on a du X moins Y, et du Y. On a du X, et ce qui nous manquait c'était du X moins Y et du Y. Voilà, on les a tous. Maintenant, il n'y a plus qu'à redonner. On fait passer l'Y de l'autre côté, et on a notre inégalité. On encadre, et c'est fini. Donc moi, cette inégalité, je l'appelle l'inégalité triangulaire renversée. C'est tellement simple de la prouver à partir de l'inégalité triangulaire qu'elle mérite d'avoir le même nom quasiment. Donc c'est une bonne formule à retenir, très très utile dans les complexes, et on l'utilise tout le temps. Donc, question 2. Donc, on a A et B, deux complexes, exprimés, partie réelle de A sur B, et partie imaginaire de A sur B, en fonction de partie réelle et imaginaire de A et B, ainsi que le module de B. Donc, on pose A et B, on écrit A et B, on va essayer de séparer partie réelle et partie imaginaire. Là, tout de suite, module de B, ça fait titre. Pourquoi ils ont dit module de B ? Là, déjà, on a B au dénominateur. Un complexe au dénominateur, c'est un peu compliqué, on l'a vu, vous l'avez vu, on ne peut pas séparer les parties réelles et imaginaires quand on a un complexe au dénominateur. Donc là, il faut supprimer ce complexe. C'est en faisant apparaître le module de B. On multiplie par le conjugué de B en haut et en bas, et ça nous donne le module au carré de B. Donc là, c'est un réel, on n'y touche pas. En haut, on exprime ce que ça veut dire A et le conjugué de B. Donc partie réelle de A plus partie imaginaire de A, facteur 2, partie réelle de B moins partie imaginaire de B. Et là, on développe le numérateur, et on sépare partie réelle ici et partie imaginaire. On met I en facteur, et B, le module au carré de B en bas, on ne touche pas. Ainsi, on a vu, on a partie réelle de A sur B, et partie imaginaire de A sur B, qui sont égales à ça et ça. Maintenant, on applique pour A égale à 1. A égale à 1, ça veut dire que partie réelle de A égale à 1, et partie imaginaire de A égale à 0, on remplace. Voilà, ça nous donne ceci. Et ça, je vous conseille de l'apprendre par cœur. C'est toujours utile de savoir qu'est-ce que c'est la partie réelle et imaginaire de l'inverse d'un complexe. On encadre toujours la conclusion. Donc, la deuxième partie. J'en avais dit, on pourrait tenter d'utiliser la question précédente, mais je vous dis que ce n'est pas la bonne solution, et vous devez me croire sur parole, mais vous pouvez essayer chez vous, et c'est plus long en essayant d'appliquer la question 1. Donc là, on va essayer d'appliquer les formules de l'air. Mais déjà, ce β, pourquoi il appartient à R privé de 2k plus 1pi, k appartient à Z ? Vous vous souvenez, le b devait être différent de 0. Là, c'est ce que ça veut dire. Ça veut dire qu'ici, le 1 plus ei β, il est différent de 0. Pourquoi ? Parce qu'en fait, si β est égal à 2k plus 1pi, β est égal à moins 1. Il faut bien voir sur le cercle. Moins 1 et 1, on peut les écrire sous forme exponentielle. Ça, ça peut être très utile, souvent, de bien visualiser les angles. Moi, j'avais du mal au début à visualiser les formes exponentielles. Si on visualise bien A, C, U sur le cercle, il y a des valeurs remarquables avec l'écosynus, les valeurs remarquables d'écosynus pour bien imaginer. Là, ça ne va pas nous servir trop sur l'exercice, mais on comprend pourquoi c'est ça, et on sait que ça ne sert à rien d'autre que que ce soit défini. L'idée, c'est qu'on factorise par l'angle moitié pour faire apparaître les formules de l'air. Les formules de l'air que je rappelle ici. À prendre par cœur, évidemment, si vous ne l'avez pas déjà fait. On écrit 1 plus EIα sur 1 plus EIβ. On factorise par l'angle moitié au numérateur. Là, on a notre angle moitié. Ici, EIβ. EIα sur 2 fois E-Iα sur 2, ça fait 1. Et EIα sur 2 fois E-Iα sur 2, ça fait E-Iα. Pareil au dénominateur. Ça, fois ça, ça fait 1. Et ça, fois ça, ça fait E-Iβ. Tout ça pour dire que l'angle moitié, ce n'est pas uniquement quand on a des exponentiels de deux côtés. On peut avoir 1, parce que 1, c'est purement E-I0. Après, là, on peut appliquer les formules de l'air. Vous voyez, là, on reconnaît ça. On passe le 2 de l'autre côté, donc c'est égal à 2cos. Pareil en bas. Là, on fait EIα sur 2 moins β sur 2. Et là, on a 2cosα sur 2, 2cosβ sur 2. Les deux se simplifient. Et là, on sait que EIα moins β sur 2, c'est cosα moins β sur 2 plus Isinusα moins β sur 2. Ainsi, on obtient les parties réelles et imaginaires de ce qu'on voulait. On encadre, et c'est fini. Voilà, j'espère que vous avez bien tout compris. N'hésitez pas à revoir la vidéo, à faire pause. Et on se retrouve pour une prochaine vidéo.

Inégalité triangulaire, partie réelle et imaginaire d’un quotient

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