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Algèbre

Complexes : vision algébrique

Dans cette vidéo, Paul résout un exercice sur les complexes et plus précisément sur la résolution d'équations algébriques dans ce domaine. Il commence par traiter le cas où n est égal à 0, qui est particulier car dans ce cas, toutes les valeurs de z sont des solutions. Ensuite, pour les cas où n est strictement supérieur à 0, il utilise la notion des racines énièmes de l'unité pour écrire l'équation z sur z-1 élevé à la puissance n égale à 1 comme z sur z-1 appartenant aux racines énièmes de l'unité. Pour k égal à 0, il remarque que la racine est directement égale à 1, ce qui lui permet de conclure qu'il n'y a pas de solution dans ce cas. Pour les valeurs de k entre 1 et n-1, il pose z égal à rho e i theta et utilise cette formulation pour isoler z dans l'équation, déterminant ainsi l'ensemble des solutions. Il remarque également que le cas k égal à 0 doit être traité séparément, car il ne serait pas possible de diviser par e2i kpi sur n-1 si k était égal à 0. En résumé, pour l'équation z sur z-1 élevé à la puissance n égale à 1, l'ensemble des solutions est l'ensemble des complexes lorsque n est 0, il n'y a pas de solution lorsque n est 1, et lorsque n est supérieur à 2, l'ensemble des solutions est 1 demi moins i sur tangente kpi sur n avec k appartenant à 1 n-1. Ensuite, Paul aborde la question 2 de l'exercice, qui concerne l'équation z plus i élevé à la puissance n égale à z moins i élevé à la puissance n, et observe qu'elle a n-1 solutions réelles, qu'il résoudra plus tard. Tout d'abord, il traite le cas n égal à 0, où toutes les valeurs de z sont des solutions. Ensuite, pour les cas où n est strictement supérieur à 0, il manipule l'équation pour l'amener à la forme complexe puissance n égale à 1, en divisant par z moins i. Il isole ensuite z et utilise les formules de l'angle moitié plus les angles de l'aire pour simplifier l'ensemble des solutions. En résumé, pour l'équation z plus i élevé à la puissance n égale à z moins i élevé à la puissance n, l'ensemble des solutions est l'ensemble des complexes lorsque n est 0, et lorsque n est strictement supérieur à 0, l'ensemble des solutions est 1 sur tangente kpi sur n avec k appartenant à 1 n-1, en excluant les valeurs de k égales à 0 et 1.

Salut c'est Paul et on se retrouve dans une petite vidéo pour résoudre ensemble un exercice sur les complexes et plus particulièrement la résolution d'équations un peu algébriques dans le domaine des complexes. Ok c'est parti ! Donc la première question consiste à résoudre dans C l'équation suivante z sur z-1 le tout puissant n égale à 1. Donc d'abord on va d'abord traiter le cas n égale à 0. En fait là c'est très simple parce que z appartient à C donc c'est un cas un peu à part souvent n égale à 0 parce que là tout z est solution. Donc sinon n est strictement supérieur à 0 et on a, en fait c'est assez simple parce que c'est au départ simplement les racines énièmes de l'unité donc z sur z-1 le tout puissant n égale à 1 c'est équivalent à z sur z-1 appartient aux racines énièmes de l'unité. C'est ce que j'ai réécrit ici. Dans le cas où k ici égale à 0 on a, c'est un peu particulier si on le remarque parce que ici la racine est égale à 1 directement et z sur z-1 égale à 1 c'est équivalent à 0 égale à 1 donc il n'y a pas de solution dans ce cas là. Sinon dans le cas où k est supérieur ou égale à 1 y compris entre 1 et n-1 on va poser z égale à rho e i theta et z sur z-1 est égale à e2i kpi sur n c'est équivalent à z égale à z en fait on fait passer z-1 de l'autre côté et on rabat tous les z du même côté ainsi on peut isoler z ici tout seul c'est assez simple de manière algébrique d'ailleurs on remarque qu'il fallait bien séparer le cas k égale à 0 parce que ici sinon on n'aurait pas pu diviser par e2i kpi sur n-1 parce que ça aurait pu être égal à 0 donc c'est bien qu'on ait traité le cas égale à 0 et souvent comme on voit les cas n égale à 0, k égale à 0 c'est souvent particulier donc c'est bien de traiter souvent ce qu'on fait c'est qu'on fait l'exercice et on se rend compte qu'on a besoin de traiter à part un cas et du coup on le traite au brouillon on le traite avant on laisse un peu de place ou alors on traite l'exercice au brouillon et après on le rajoute en haut ce qui finalement nous donne ceci là j'ai utilisé le moitié plus les formules de l'air pour transformer e2i kpi sur n-1 en e2i kpi sur n 2i sin kpi sur n les exponentiels se simplifient avec le 2 ici ce qui nous donne si on décompose en partie réelle et partie imaginaire ces exponentiels 1 demi moins i tangente de kpi sur n ainsi l'ensemble S des solutions de z sur z-1 puissance n égale à 1 et si n égale à 0 l'ensemble est égal à l'ensemble des complexes totale parce que tout z est des solutions si n égale à 1 il n'y a pas de solution et si n est supérieur à 2 l'ensemble des solutions est égal à 1 demi moins i sur tangente kpi sur n avec k appartenant à 1 n-1 on encadre tout ça l'ensemble des solutions et les différents cas maintenant on passe à la question 2 la question 2 c'est z plus i puissance n égale à z moins i puissance n et on doit résoudre dans c et on doit observer qu'elle admet n-1 solution toute réelle mais ça on résout et on observera plus tard donc dans le cas où n égale à 0 z appartenant à c est solution sinon n est strictement supérieur à 0 donc toujours n égale à 0 à part sinon ça va nous gêner plus tard et l'équation est équivalente à et comme i n'est pas solution on peut tout ramener d'un côté on peut diviser par z moins i pour nous ramener à une k 1 complexe puissance n égale à 1 et là racine de l'unité pareil et on isole le z tout seul là on peut faire cette manipulation donc diviser par e de z kpi sur n moins 1 parce que le k k égale à 0 n'est pas solution donc ici vous voyez bien que là le k il appartient à 0 n moins 1 et là j'ai enlevé parce que dans le cas k égale à 0 il n'y a pas de solution ainsi on peut l'enlever comme ici le k comme i n'est pas solution ici là on peut diviser par z moins i on isole z z ne peut pas être égal à i parce que ce n'est pas solution pareil là k ne peut pas être égal à 0 parce que dans ce cas là il n'y a pas de solution ok ainsi là on utilise la formule l'angle moitié plus les angles de l'air les formules de l'air oui c'est ça on simplifie ainsi l'ensemble des solutions si n égale à 0 l'ensemble des solutions c'est les complexes si n est strictement supérieur à 0 c'est égal à 1 sur tangente kpi sur n avec k appartenant à 1 1 pas 0 1 et de moins 1 voilà ici si on simplifie ça nous donne 1 sur tangente évidemment voilà on encadre et c'est fini voilà à plus

Équations algébriques avec des complexes

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