Home

2BAC SM Maroc

Maths SM&SP

Algèbre

Complexes : vision géométrique

Dans cette vidéo, Paul explore les relations entre des équations avec des complexes et des objets géométriques. Dans la première question, il cherche à déterminer l'ensemble des points M dont l'affixe Z vérifie la relation complexe Z-2 = rho * i, avec rho appartenant à R+. En termes géométriques, cela signifie que les points M se trouvent sur une demi-droite partant de l'origine et tournant de pi/2, décalée vers la droite de 2.

Dans la deuxième question, la relation est l'argument de Z / (1 + i) = pi/2 mod 2pi. En utilisant la forme exponentielle du nombre complexe 1 + i, Paul trouve que les points M sont situés sur une demi-droite partant de l'origine et passant par le point (-1, 1).

Dans la troisième question, Paul cherche les points M tels que l'argument de (Z-2i) / (Z-1+i) = pi/2 mod pi. Il introduit les points A (0,2) et B (1,1) qui permettent d'écrire l'argument en termes d'angles entre les vecteurs MB et MA. Finalement, il conclut que l'ensemble des points M forme un cercle dont le rayon est le segment AB.

C'est ainsi que Paul résume le contenu de cette vidéo orientée vers les relations entre équations complexes et objets géométriques.

Salut c'est Paul, on se retrouve dans une nouvelle vidéo où on va explorer les relations entre des équations avec des complexes et des objets géométriques. Donc c'est parti ! Alors la première question, le but de l'exercice c'est de déterminer l'ensemble des points M dont l'affix Z vérifie une certaine relation complexe, donc là sur des arguments dans cet exercice. Donc la question 1, c'est on va chercher les points M tels que leur affix Z correspond à l'argument de Z-2 égale à pi sur 2 modulo de pi. Donc on va expliciter ce que ça veut dire pour un certain Z. Donc l'argument de Z-2 égale pi sur 2 modulo de pi, ça veut dire que, on écrit ce que ça veut dire pour Z-2, ça veut dire qu'il existe un module, donc rho appartient à R plus étoile, tel que Z-2 est égal à rho EI pi sur 2, EI pi sur 2 c'est I, donc est égal à rho I. Pour Z, qu'est-ce que ça veut dire ? Toujours le même module et tel que Z est égal à rho I plus 2. Donc qu'est-ce que ça veut dire au niveau géométrique ? Ça veut dire que on a cette, ça veut dire que ici Z-2 ici est égal à rho I, donc sur cette demi droite ici partant de 0 tourné de pi sur 2. Et là on lui rajoute plus 2, donc on la décale vers la droite de 2 ici. Donc le nombre Z est sur la demi droite ici d'origine de 0, 2 et porté par le vecteur V, donc c'est ce qu'on va écrire. Ainsi l'ensemble des points recherchés est la demi droite d'origine de 0 portée par V. Ainsi on passe à la question suivante. Cette relation c'est argument de Z divisé par 1 plus I égal pi sur 2 modulo 2 pi. Donc on écrit ce que c'est, là on transforme 1 plus I ici en sa forme exponentielle parce que c'est plus simple de traiter d'arguments toujours avec des nombres sous la forme exponentielle plutôt que sous la forme algébrique. Parce qu'on a directement accès à l'argument par définition. Et ici il faut se rappeler que l'argument d'un quotient c'est l'argument du numérateur moins l'argument du dénominateur. Ainsi on peut passer l'argument ici du dénominateur pi sur 4 de l'autre côté de l'équation, on a argument de Z est égal à 3 pi sur 4 modulo 2 pi. Mais ça veut dire quoi ? Ça veut dire que notre Z est sur la demi droite d'origine O et dirigée dans la direction 3 pi sur 4, ici donc passant par le point ici par exemple (-1,1). J'ai pris un des points. Et donc l'ensemble des points recherchés est la demi droite d'origine O passant par le point (-1,1). On a vu deux façons de caractériser une demi droite. Prendre une origine et un point par lesquels elle passe. Donc bien préciser lequel est l'origine pour dire quel est le point d'origine, donc le point où elle s'arrête. Ou avec, comme je l'ai dit, un point, une origine et un vecteur directeur. Donc la troisième question, là on veut trouver les points M tels que l'argument de Z-2i divisé par Z-1 plus i est égal à pi sur 2 modulo pi. Donc là on a bien un modulo pi, donc c'est un peu différent. Donc on note A égal à 0,2 le point d'affixe 2i. B, 1,1 le point d'affixe 1-i. Et M, le point qui représente l'affixe 2z. Donc pourquoi je mets ces points ? Parce qu'en fait finalement là c'est Z moins l'affixe de A ici. Et là enfin Z moins l'affixe de B. Pourquoi je dis ça ? Parce qu'en fait que l'argument de Z moins l'affixe de A est Z divisé par Z moins l'affixe de B est égal à pi sur 2 modulo pi. Ça veut dire qu'en fait l'angle formé par donc M, B et M, A. L'angle entre le vecteur M, B et M, A donc M, B et M, A. Ici c'est bien les vecteurs. Et bien est égal à pi sur 2 modulo pi. Donc ça c'est bien à retenir. Et en fait ce que ça veut dire, si on réfléchit bien, ça veut dire qu'en fait le point M est sur le cercle de qui a pour rayon AB. Donc un de ces rayons est le segment AB. Donc un rayon ça définit, si on a un segment, ça définit un cercle. Parce qu'on a un centre, donc le centre du segment et un rayon qui est la moitié, la longueur du segment. Et donc comme on sait quand on prend un point ici M et qu'on trace ici les points vers un rayon, ça forme des triangles rectangles en tout point. Ainsi c'est une autre façon de définir un cercle. Ainsi on l'écrit. Donc l'ensemble des points M est le cercle dont un rayon est AB. Et le cercle il est défini uniquement par ce rayon. C'est la fin de cet exercice et on se dit à plus tard.

Lieu géométrique avec l’argument

RELATED

Recommended videos

test

Affixe, vecteurs et complexes

Forme trigo, Forme expo