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Complexes : vision géométrique

Dans cette vidéo, Paul aborde un exercice sur les nombres complexes et leur interprétation géométrique. L'exercice consiste à déterminer le lieu géométrique des points M dont l'affixe Z satisfait une certaine condition. Paul explique que pour avoir trois points alignés, l'argument de la différence des affixes de ces points doit être égal à 0 modulo pi. Il précise également que si au moins deux points sont égaux, alors ils sont automatiquement alignés. Ensuite, il considère une condition sur la partie réelle de Z-1 divisée par Z-I, et il la traduit en termes d'arguments complexes. Il en déduit que le triangle formé par les points 1, I et Z est rectangle, quel que soit Z appartenant au cercle de centre racine de 2 et de diamètre 1. Pour la deuxième question, Paul montre que les points vérifiant la condition de la partie réelle de Z-1 divisée par Z-I égale à 0 appartiennent également au même cercle. Enfin, pour la troisième question sur un triangle rectangle formé par les points M, P et Q, Paul rappelle qu'ils doivent être distincts pour former un triangle. Il explique comment traduire cette condition en termes d'arguments complexes et montre que les points M correspondants forment une droite d'équation X égale à moins 1. Puis il détermine les droites correspondantes aux points P et Q, qui sont l'axe des imaginaires purs et une droite parallèle à l'axe des réels passant par le point (-1, 0). Enfin, Paul conclut l'exercice en récapitulant les résultats obtenus pour chaque condition et en soulignant que les points M forment un cercle de centre (-1, 0) et de rayon 1,5.

Salut, c'est Paul et on se retrouve dans une nouvelle vidéo sur les complexes et un exercice portant sur la relation nombre-complexes et interprétation géométrique. Ok, c'est parti ! Donc, cet exercice nous demande de déterminer le lieu géométrique des points M dont une affixe Z vérifie une condition, donc de traduire une condition sur les complexes en une forme géométrique, un ensemble de points géométriques. Donc, la première question parle de points I, M et M' alignés. Des points alignés, direct, c'est que 3 points A, B, C sont alignés si l'argument de B-A divisé par C-A est égal à 0 modulo pi. Donc, ça veut dire que l'angle formé par l'angle A, B, C, ici, est un angle plat. C'est ça que ça veut dire ici. Mais il y a aussi d'autres cas, c'est si, ici, au moins 2 des points sont égaux. Donc, s'ils sont égaux, il n'y a plus que 2 points, il n'y a pas que 3 points, et donc ils sont automatiquement alignés. La deuxième question, on a la partie réelle de Z-1 sur Z-I égale à 0. Donc là, on voit que la partie réelle égale à 0, c'est égal à l'argument de Z-1 sur Z-I égal à pi sur 2. Donc, je traduis en forme d'angle parce que les angles, ça se rapproche plus de l'interprétation géométrique. Et là, après, il faut voir ce qu'on peut en dire. La question 3, on a M, P et Q qui sont les sommets d'un triangle rectangle. Les sommets d'un triangle rectangle, qu'est-ce que ça veut dire ? Il faut traduire ça en forme d'argument à base d'expressions comme ceci. Il faudra bien distinguer 3 cas, rectangle en M, rectangle en P ou rectangle en Q. Donc, on peut attaquer l'exercice. La question 1, 3 points sont alignés, on exprime ce que ça veut dire, si et seulement si. On a I-M et I-M' égales à 0 modulo pi, donc l'angle entre I-M et I-M'. Donc, c'est bien les 3 points sont alignés, donc l'angle qu'ils forment est plat ou au moins 2 des points sont égaux. On traduit cela avec des noms complexes. Donc, l'argument de I-Z-I sur Z-I égales à 0 modulo pi ou Z-I égales à 0, enfin Z égales à I ou I-Z égales à I ou Z égales à I-Z. Donc, j'ai traduit ici les égalités. Il y a cette dernière égalité ici qui peut être enlevée, on n'en a pas besoin. Parce qu'en fait, si elle est vraie, on a que l'argument de nom complexe est égal à 0. Ainsi, elle est incluse dans le fait qu'on doit avoir I-Z et Z sur I égales à 0. Là, on peut factoriser par I au numérateur et sortir le I de l'argument et le passer de l'autre côté. C'est comme ça qu'on obtient le moins pi sur 2. Et qu'est-ce que cela veut dire ? Z-1 sur Z-I, l'argument ici est égal à moins pi sur 2 modulo pi. Cela veut dire que le triangle 1-I-Z est rectangle quelle que soit la position de Z. Cela veut dire que Z appartient au cercle dont un rayon est I-1. C'est le cercle de centre racine de 2 ici, de diamètre 1. On entoure, c'est la réponse à la question 1. C'est pas tout à fait fini la question 1 parce qu'on doit déterminer M'. Vu que M' est le point associé à I-Z et Z est associé à M, M' est l'image de M par la rotation de centre O d'angle pi sur 2. Ça veut dire être multiplié par I, c'est la rotation de centre O d'angle pi sur 2. Ainsi, on a juste à appliquer la rotation au centre du cercle. Et ça nous donne le cercle de centre racine de 2, racine de 2, diamètre 1. Parce que la rotation conserve les diamètres par exemple et il y a juste le centre qui change. La deuxième question, la partie réelle de Z-1 sur Z-Z est égale à 0. Quels sont les points qui vérifient ça ? Pour que la condition soit vérifiée, on doit avoir Z différent de I, donc on exclut Z égal à I de l'ensemble possible. Et on traduit ce que ça veut dire avec des arguments. Ça veut dire que l'argument du nombre est égal à pi sur 2 modulo pi. Et on a la même chose qu'au début avec le cercle. On a même le même cercle. Ça veut dire que l'argument de Z-1 sur Z-Z égal à pi sur 2 modulo pi, ça veut dire que le point M appartient au cercle de centre racine de 2, racine de 2, diamètre 1, privé de 1, 0 parce que Z est différent de I. Là c'est la même chose qu'à la question précédente, juste avec un départ un peu différent. La question 3. On a M d'affix Z, P d'affix Z² et Q d'affix Z³, dont les sommets sont les sommets d'un triangle rectangle. Pour que M, P, Q soient un triangle, d'abord on doit avoir M, P et Q distincts. Donc ça exclut que Z soit égal à 0, 1 ou 1. Parce que sinon, si Z est égal à 0, 1 ou moins 1, M, P ou Q, il y aurait au moins un des trois points qui serait égal à l'autre point. Donc ce serait un triangle plat, ce qui ne peut pas être rectangle. Dans le cas où le triangle est rectangle en M, ça nous donne que la partie réelle de Z³-Z sur Z²-Z égal à 0, donc ça c'est la traduction ici. Là on a bien vu que partie réelle égale à 0 est équivalent à argument égale à Pi sur 2 modulo Pi. Donc en fait, on a que la partie réelle de Z³-Z, donc là on traduit le fait que l'angle de sommet Z ici est égal à 0, c'est à dire égal à Pi sur 2, donc on traduit le fait qu'il soit rectangle en M. Donc on calcule, enfin on simplifie ici, et c'est égal à 1 plus Z, donc c'est équivalent à partie réelle de Z égale à moins 1. Donc ça veut dire que les points M correspondants constituent à la droite d'équation X égale à moins 1. On traduit ce que c'est, partie réelle de Z égale à moins 1. Donc le carré est angle en P, on écrit pareil, donc là P c'est égal à Z², donc c'est l'angle de sommet Z², partie réelle de Z³-Z² sur Z-Z² est égale à 0, c'est équivalent à partie réelle de Z égale à 0, donc les points M correspondants constituent à la droite d'équation X égale à 0, donc c'est l'axe des imaginaires purs. Et finalement le carré est angle en Q, ça nous donne la partie réelle de Z-Z³ sur Z²-Z³ égale à 0, et finalement partie réelle de Z plus 1 sur Z égale à 0, et ça on le traduit en argument, ce qui nous donne argument de Z--1 égale à 0 divisé par Z-0. Donc on fait apparaître ici le fait que la partie réelle est égale à 0, c'est équivalent au fait que c'est l'argument égale à Pi sur 2, et donc vu qu'on a vu que quand on a des arguments égale à Pi sur 2 avec des fractions, c'est souvent des cercles, on fait apparaître ici le centre du cercle, qui est le point 1 diamètre du cercle, qui est (-1, 0). Donc les points M correspondants constituent le cercle de centre (-1, 0), donc le centre du diamètre ici, donc le diamètre c'est (-1, 0), et de rayon 1,5. Donc c'est la fin de cet exercice, et on se dit à la prochaine !

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