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Algèbre

Nombres premiers

Dans cet exercice, le but est de montrer que si M est un nombre entier positif tel que 2 puissance M plus 1 soit un nombre premier, alors M est une puissance de 2. 
Pour cela, on développe une égalité : X puissance Q plus 1 est égal à X plus 1 fois X puissance Q moins 1, moins X puissance Q moins 2, plus X puissance Q moins 3, etc., jusqu'à plus 1. 
Ensuite, en simplifiant cette équation, on remarque que si Q est impair, toutes les puissances paires de X ont un signe plus, ce qui fait apparaître le plus 1 nécessaire pour que 2 puissance M plus 1 soit premier. 
Donc on peut conclure que M est une puissance de 2. 
En utilisant cette propriété, on montre par l'absurde que si 2 puissance M plus 1 est premier et M n'est pas une puissance de 2, cela conduit à une contradiction. 
Donc on en déduit que M est nécessairement une puissance de 2.

Salut, bienvenue dans cet exercice dans lequel on veut montrer que si M est un nombre entier positif, strictement, tel que 2 puissance M plus 1 soit un nombre premier, on veut montrer que M est forcément une puissance de 2. Pour ça, on nous demande de montrer cette égalité. Donc X puissance Q plus 1, c'est X plus 1 fois X puissance Q moins 1, moins X puissance Q moins 2, plus X puissance Q moins 3, etc., jusqu'à plus 1. Alors, on va tout simplement développer ça et espérer bien retomber sur X puissance Q plus 1. Donc, on fait la distributivité classique. On se retrouve avec, donc ça fait X puissance Q, moins X puissance Q moins 1, plus X puissance Q moins 3, etc., jusqu'à moins X carré plus X. Et ensuite, le plus 1, on va pareil lui faire la distributivité, donc on va avoir X puissance Q moins 1, moins X puissance Q moins 2, plus X puissance Q moins 3, etc., moins X plus 1. Donc là, c'est une somme télescopique, on voit très bien, je l'ai placée pour que ce soit bien visible. On va avoir toutes ces simplifications-là qui vont se faire et il va rester X puissance Q plus 1. Donc là, ce qu'il faut bien comprendre, c'est qu'on a l'impression que ça marche, mais le fait qu'on soit sûr qu'il y a un plus 1 ici, c'est parce que Q est impair, c'est ça qui fait que ça marche. Parce que Q est impair, donc Q moins 1 est pair. Et étant donné qu'on alterne les signes, on commence par un signe plus quand on a une puissance pair, donc toutes les puissances pairs de X vont avoir un signe plus. Etant donné que 1, c'est X puissance 0 qui est pair, il y a un signe plus devant le 1, donc c'est ça qui fait qu'on a bien cette factorisation possible. Donc voilà, ça résume ce que je viens de dire. Donc voilà pour la première question. Deuxième question, donc maintenant, on dit que M, comme je disais dans l'introduction, M, il vérifie que 2 puissance M plus 1 soit premier. On veut montrer que M, c'est une puissance de 2. On va le faire par l'absurde. Donc on va supposer que ce n'est pas une puissance de 2. Donc ça veut dire qu'il existe un entier K, donc là, on va parler de sa décomposition au facteur premier, il existe un K qui est un entier impair, donc il n'y a pas de 2 qui apparaît dans K, tel que M, c'est 2 puissance alpha fois K. K, c'est un nombre impair, c'est le reste de la décomposition au facteur premier de M, une fois qu'on a retiré toutes les puissances de 2. Et alpha, il appartient à N, parce que c'est le nombre de puissances de 2 qui apparaît dans la décomposition au facteur premier de M. On suppose que P, c'est 2 puissance alpha. C'est la factorisation qu'on en fait de M. Donc, 2 puissance M plus 1, c'est 2 puissance P fois K plus 1. Donc, c'est 2 puissance K. Et là, on va utiliser la question 1. Étant donné que K est impair, on peut faire notre factorisation avec ce nombre-là, qui ici, c'est X. On prend 2 puissance P comme notre X, et on écrit la factorisation qu'on a prouvée dans la première question. Donc, ça nous fait X plus 1, donc 2 puissance P plus 1, X puissance K moins 1, donc K moins 1 ici, etc., jusqu'à plus 1 à la fin. Ensuite, ce qu'il faut se dire, c'est essayer de revenir à ce qu'on veut faire. On a utilisé la première question, souvent c'est bon signe. Mais là, qu'est-ce qu'on veut faire ? On dit que M n'est pas une puissance de 2, donc on peut l'écrire comme ça. Le but, c'est d'arriver à une contradiction. Parce que M, c'est censé être une puissance de 2, c'est ça qu'on veut montrer. On va voir ce qui se passe. Étant donné que P, c'est 2 puissance alpha, P est strictement plus petit que M, donc à fortiori, 2 puissance P plus 1 est plus petit que 2 puissance M plus 1. C'est strictement plus grand que 1, parce qu'on a supposé que P, c'est 2 puissance alpha. Donc, même si alpha vaut 0, 2 puissance alpha, ça vaut 1, donc 1 plus 1, c'est plus grand que 2. Du coup, on a une factorisation non triviale de 2 puissance M plus 1, parce qu'on a supposé que 2 puissance M plus 1 est premier. Et là, on vient d'écrire 2 puissance M plus 1 comme un nombre qui est plus grand que 1, donc c'est pas 1 fois lui-même, c'est un nombre entier fois un autre nombre. Mais du coup, ça contredit le fait que 2 puissance M plus 1 soit premier. Donc on arrive à notre contradiction. La contradiction, c'était que M peut s'écrire comme ça. Donc, nécessairement, M est forcément une puissance de 2. Voilà ce qui conclut cet exercice.

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