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Nombres premiers

Dans cet exercice, nous allons démontrer que si P est un entier supérieur ou égal à 2 et que P-1! est congruent à -1 modulo P, alors P est premier. Nous allons démontrer cette implication dans un sens pour l'instant. 

Nous partons donc du constat que P-1! est congruent à -1 modulo P, ce qui signifie qu'il existe un entier k tel que P-1! + 1 = k * P. En réarrangeant cette équation, nous obtenons 1 = k * P - (P-1!), que nous nommons équation 1 pour référence ultérieure. 

Notre méthode pour prouver que P est premier consiste à montrer que P est premier avec tous les nombres plus petits que lui. Si tel est le cas, alors P est effectivement un nombre premier. 

Nous prenons donc un nombre Q plus petit que P et dans l'intervalle [1, P-1!]. En réécrivant l'équation 1 comme 1 = k * P + Q * (P-1!), nous remarquons que le produit des entiers i dans l'intervalle [1, P-1!] (à l'exception de Q) est égal à P-1!. Nous avons également le terme -1. 

Ce produit est un entier relatif, plus précisément un entier négatif, ce qui n'est pas important pour notre démonstration. Ce qui est important, c'est qu'il s'agit d'un entier. Nous pouvons donc considérer cette équation comme une équation de Bézout, où k * P et Q * (P-1!) sont premiers entre eux, selon le théorème de Bézout. 

Ainsi, en prenant Q de manière arbitraire, nous avons démontré que P est premier avec tous les entiers plus petits que lui. Par conséquent, P est nécessairement un nombre premier. 

Ceci conclut notre exercice.

Salut ! Dans cet exercice, on va montrer que si P est un entier supérieur ou égal à 2, P-1! congrue à –1 modulo P, ça implique que P est premier. Alors, comme on nous dit, c'est équivalent, mais on va juste le montrer dans un sens pour l'instant. Donc, on part du commandaire de la propriété de gauche, donc on suppose que P-1! est congrue à –1 modulo P. Qu'est-ce que ça veut dire, ça ? Ça veut dire qu'il existe un k dans Z, tel que P-1! plus 1 est égal à k fois P. On passe celui-là de l'autre côté, c'est un multiple de P, donc c'est k fois P. On va réécrire un peu cette égalité de façon à faire apparaître des coefficients de Bézout. Donc, on a que 1, donc là, ce qu'on a fait, c'est passer P-1! de l'autre côté, et on a 1 est égal à k fois P, moins P-1! Ça, c'est une égalité qu'on va retrouver, donc je l'ai appelée numéro 1 pour y faire référence après. Et là, la méthode qu'on va faire pour montrer que P est un nombre premier, c'est qu'on va montrer que P est premier avec tous les nombres plus petits que lui. Parce que si c'est le cas, ça veut dire que c'est un nombre premier. Donc, on prend un nombre qui est plus petit que P. Donc là, on prend Q, un nombre entier, dans l'intervalle 1, P-1! Donc, quand il y a les doubles crochets comme ça, ça veut dire qu'on considère que les nombres entiers dans l'intervalle 1, P-1! On réécrit l'égalité 1 comme 1 égale k fois P, donc ça, ça ne bouge pas, plus... Alors, cette écriture-là, ce produit, c'est le produit des i, mais les i, c'est les entiers dans l'intervalle 1, P-1! Mais i est différent de Q. Et Q, on l'a ici, et on a le signe moins 1. En fait, c'est exactement ça, c'est exactement P-1!, parce que P-1!, c'est le produit des nombres entiers dans l'intervalle 1, P-1! Mais là, on en a juste sorti 1, celui qu'on a choisi ici, on l'a sorti, et on a du coup le produit de tous les autres. Et on a le petit signe moins 1 qui traînait ici. Mais ce produit, c'est un produit de nombres entiers, donc, surtout qu'il y a un petit signe moins 1, donc ça, ça ne change pas, ça appartient à Z, c'est un entier relatif. En réalité, c'est même un entier négatif, mais ce n'est pas important. C'est un entier, c'est tout ce qui nous intéresse. Parce que là, ce qu'on reconnaît, c'est une égalité de Bézout, parce qu'on a k fois P plus Q fois un entier est égal à 1. Donc, d'après le théorème de Bézout, P et Q sont premiers entre eux. Et du coup, on vient de montrer, parce que Q, on l'a pris n'importe comment, on vient de montrer que P est premier avec tous les entiers plus petits que lui, donc nécessairement, P est un nombre premier. Et donc voilà pour cet exercice.

Théorème de Wilson

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