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Loi usuelles, groupes

Dans cette vidéo, Corentin aborde un exercice qui consiste à démontrer que certaines lois donnent à l'ensemble J une structure de groupe, et à déterminer si ce groupe est abélien ou non.

Il commence par parler de la première loi, appelée "loi étoile", qui associe à deux éléments x et y dans l'intervalle (-1,1), l'opération (x+y)/(1+xy). Il veut d'abord prouver que cette loi est interne, c'est-à-dire que x étoile y appartient à J. Il introduit une fonction f(x) = (x+y)/(1+xy) et montre que cette fonction est dérivable et strictement croissante sur l'intervalle (-1,1). Grâce à cela, il conclut que la loi étoile est bien interne. Ensuite, il montre l'associativité de cette loi, ce qui nécessite quelques calculs. Il explique qu'il est également possible de trouver l'élément neutre et l'inversibilité de la loi étoile en effectuant des tests avec des valeurs particulières, mais il ne donne pas de détails sur ces calculs. Finalement, il conclut que la loi étoile est commutative, ce qui signifie que l'ensemble J forme un groupe abélien.

Ensuite, Corentin aborde une deuxième loi, toujours appelée "loi étoile", mais cette fois-ci pour l'ensemble G qui est l'espace R². Cette loi associe à deux couples (x,y) et (x',y') de G le couple suivant : (x * x' - y * y', x * y' + x' * y). Il montre que cette loi est interne en montrant que le résultat de l'opération appartient à G. Il procède ensuite à de nombreux calculs pour démontrer l'associativité de la loi étoile, en utilisant des expressions algébriques pour les éléments du groupe G. Puis, il cherche l'élément neutre en testant différentes valeurs de couples et finalement trouve que le couple (0,0) est neutre pour la loi étoile. Il prouve l'inversibilité en testant un couple particulier, et montre qu'il existe un inverse pour tout couple (x,y) dans G. Enfin, il démontre que la loi étoile n'est pas commutative en montrant que le résultat de l'opération dépend de l'ordre des couples dans l'opération. Il conclut donc que G n'est pas un groupe abélien.

En résumé, Corentin aborde deux lois différentes, la première sur un ensemble J et la deuxième sur un ensemble G. Il montre que la loi étoile donne à J une structure de groupe abélien, tandis que la loi étoile sur G ne forme pas un groupe abélien.

Salut à tous, c'est Corentin. Bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui autour d'un exercice dont l'énoncé est assez simple puisqu'il nous demande simplement de montrer que les lois suivantes munissent l'ensemble J indiqué d'une structure de groupe et dans un second temps de préciser si ce dernier est abélien ou non. Commençons tout de suite par la loi étoile qui, à x et y dans (-1,1), associe x plus y divisé par 1 plus x fois y. Commençons dans un premier temps par montrer que cette loi est interne et j'insiste encore une fois là-dessus, on a tendance à oublier de le montrer et pourtant c'est ici que se concentre la difficulté de cette question. Soit x et y dans G montrent donc que x étoile y appartient lui aussi à G. Et là, si on réfléchit un peu plus longtemps, on commence à se rendre compte que cette question n'est pas évidente. Comment peut-on le montrer précisément ça ? Moi ce que j'ai envie de faire, c'est de poser une fonction f pour tout y dans G qui a x associé x plus y divisé par 1 plus x fois y. Alors pour être bien clair, ici y est fixé dans G et la variable c'est x. Et ce qu'on va vouloir faire pour cette fonction, c'est de montrer qu'elle a valeur dans G. Autrement dit, c'est de l'étudier et on se ramène ici à un bête exercice d'analyse. Alors déjà, on remarque que f est dérivable sur (-1,1), et que sa dérivée vérifie 1-y² divisé par 1 plus xy². Et on remarque que cette quantité-là est strictement positive sur (-1,1). Conclusion, f est strictement croissante sur (-1,1). Et on a de plus, et on en déduit, que f de x pour tout x strictement compris entre (-1,1), est strictement compris entre f de (-1,1), et f de 1. Et là, coup de bol, f de (-1), ça vaut (-1), et f de 1, ça vaut 1. On en déduit donc que x étoile y est bien à valeur dans G. Autrement dit, étoile est bien interne. Montrons à présent qu'elle est associative. Et là, toujours la même chose, soit x, y et z dans G. Ce qu'on veut, c'est malheureusement faire des calculs et montrer que x étoile entre parenthèses y étoile z est égal à x étoile y entre parenthèses étoile z. Là, je vous laisse faire. Théoriquement, il n'y a rien de compliqué, mais calculatoirement parlant, calculatoirement parlant, pas mal ça, c'est assez chiant à faire. Je vous ai mené le calcul pour x étoile y étoile z, mais croyez-moi sur parole ou menez le calcul vous-même, un calcul similaire nous donne le même résultat pour entre parenthèses x étoile y étoile z. Conclusion, étoile est bien, et donc bien associative. Montrons à présent qu'il existe un élément neutre unique dans G. Dans ces cas-là, lorsque l'ensemble G est une partie de R, ce que je vous conseille de faire, c'est de vérifier pour des valeurs communes, soit 0 soit 1. Et ici, coup de bol, on remarque que x étoile 0 est égal à 0 étoile x est égal à x. Conclusion, l'élément neutre dans G est 0. Passons à l'inversibilité. Ce que je vous invite à faire, c'est un peu comme l'élément neutre, c'est à tester pour des formes un peu basiques. En l'occurrence, ce que je fais souvent, c'est moins x et 1 sur x. Et ici, encore une fois, énième coup de bol de cet exercice, on remarque que moins x, ça marche. On en conclut donc que tout élément x appartenant à G est inversible d'inverse moins x. Je vous donne la justification ici. On retrouve bien en effet que x étoile moins x est égal à 0, qui est l'élément neutre. Je vous ai tout dit. Passons à présent à la commutativité. La commutativité, posons-nous à présent la question de savoir si G, si étoile, est commutative. Et on remarque quoi ? On remarque que x étoile y, c'est égal à ça par définition d'étoile. Et plus dans R, c'est commutatif. Et fois dans R, l'opération multipliée est commutative elle aussi. Donc on a le droit de permuter x et y en haut et x et y en bas. Ça, c'est exactement égal à y étoile x. Conclusion, G est un groupe abélien par opération élémentaire dans R. Abélien égal commutatif, je crois que c'est juste. Pour ceux qui auraient oublié. Passons à la question 2 qui nous définit une nouvelle loi. Encore une fois, étoile. Mais cette loi de 1 est différente et de 2, G aussi est différente. Puisque à présent, G, c'est R au carré. Et la loi étoile, elle associe à 2 couples, donc x, y et x prime, y prime, le couple suivant. Posons-nous la question dans un premier temps de savoir si cette loi est interne. Soit x, y et x prime, y prime dans R carré. On remarque quoi ? Que x, y étoile x prime, y prime, puisque cette quantité-là appartient à R et que cette quantité-là appartient bien à R puisque x commutatif est à valeur dans R. Et qu'on ne fait que des multiplications et des additions de choses qui sont en R. Tout ça appartient bien à R carré qui est l'ensemble des couples de R. Montrons qu'elle est associative. Toujours la même chose, sauf que cette fois-ci, c'est encore plus calculatoire puisqu'on a affaire à des couples, donc 2 fois plus de calculs à mener. On ne va jamais s'en sortir. Ce que je fais dans un premier temps, c'est prendre 3 couples. Donc x, x, y, x prime, y prime et x seconde, y seconde. Je calcule x, y, étoile, entre parenthèses, x prime, y prime, étoile, x seconde, y seconde. C'est même compliqué à dire, vous imaginez le truc. Je mets mon calcul, j'obtiens un couple qui est donc le résultat de ce calcul. Et je réitère, je m'occupe de ce calcul-là, j'obtiens ce couple à la fin. Et de même, pour cette fois-ci, entre parenthèses, le couple x, y, étoile, x prime, y prime, étoile, y seconde, y seconde, je trouve la même chose. Encore une fois, croyez-moi ou menez le calcul vous-même. On en conclut donc que l'étoile est associative. Passons à l'élément neutre. De la même manière que dans R, dans R², je teste pour 1, 1, 0, 0, 1, 0, ou des choses vraiment basiques. Et ça, je vous invite vraiment à le faire parce que ça vous fait gagner un temps incroyable, qui est précieux en prépa, on le sait que le temps est précieux en prépa. On remarque qu'ici, coup de bol encore une fois, cet exercice est vraiment là pour vous inciter à tester pour des valeurs remarquables. On remarque que 0, 0 est un élément neutre de G. En effet, le couple x, y, étoile, 0, 0 donne x, y. De même pour le couple 0, 0, étoile, x, y. On teste toujours dans l'autre sens quand même, au cas où. Inverse, de la même manière, j'ai testé avec un couple particulier qui est ici, moins x, moins y. On a vraiment envie de tester pour ça. On remarque que c'est égal à 0, 0, qui est l'élément neutre, de même pour le couple moins x, moins y, étoile, x, y. Enfin, pour la commutativité, on remarque que le couple 1, 0, étoile, 0, 1 est égal au couple 1, exponentiel de 1, d'une part, et d'autre part, que le couple 0, 1, étoile, 1, 0 est égal à 1, exponentiel de 1, d'autre part. Et ça, c'est différent. Conclusion, G n'est pas abélien, puisque la loi étoile n'est pas commutative. Merci à tous.

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