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Loi usuelles, groupes

Dans cette vidéo, Corentin aborde la question de savoir si un sous-groupe d'un groupe produit est nécessairement le produit de deux sous-groupes. Pour expliquer cela, il commence par rappeler ce qu'est un groupe produit. Un groupe produit est défini comme l'ensemble des couples (x1, x2) composés d'un élément x1 du groupe G1 et d'un élément x2 du groupe G2. La loi de composition sur ce groupe produit est définie comme x1y1 * x2y2 = (x1 * x2, y1 * y2), où * représente la loi interne dans chaque groupe. 

Ensuite, Corentin donne un contre-exemple pour montrer que ce n'est pas toujours le cas. Il prend les groupes G1 et G2 comme étant l'ensemble des entiers positifs (z+). Il montre ensuite que le sous-groupe des couples (x, x) dans le groupe produit n'est pas le produit de deux sous-groupes. Il précise que si cela était le cas, cela signifierait que ce sous-groupe serait le produit de z * z, qui est l'ensemble des couples (x, y) avec x appartenant à z et y appartenant à z. Cependant, le couple (1, 2) n'appartient pas à ce sous-groupe, ce qui montre que ce sous-groupe des couples (x, x) ne peut pas être écrit comme le produit de deux sous-groupes. 

En conclusion, la réponse à la question posée est non, et Corentin a présenté un contre-exemple pour le prouver.

Salut à tous, c'est Corentin. Bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui sur un exercice assez court mais très théorique qui va vous demander esprit d'abstraction et qui à mon sens ferait une très bonne question d'oral. Alors commençons tout de suite par la lecture de l'énoncé qui est une question et qui nous demande si un sous-groupe d'un groupe produit est-il nécessairement produit de deux sous-groupes. Alors ce que j'ai envie de faire c'est de vous faire un petit rappel sur ce qu'est un groupe produit puisque c'est une notion à la frontière du reprogramme. Soit G1 et G2, deux groupes munis de leur loi interne respective. On définit le groupe produit par l'ensemble G1 x G2 qui est constitué des couples x1 x2 avec x1 dans G1 et x2 dans G2, munis de la loi étoile elle-même définie par x1 y1 étoile x2 y2 est égal à x1 fois x2 au sens de 1 et y1 fois y2 au sens de 2. Et puis moi ce que j'ai envie de faire pour exhiber mon contre-exemple, car spoiler non, un sous-groupe d'un groupe produit n'est pas nécessairement produit de deux sous-groupes, c'est de prendre G1 et G2 est égal à z+. De là j'exhibe un sous-groupe de z carré muni de plus qui est le groupe produit. Ce sous-groupe c'est l'ensemble xx avec x dans z muni de la loi plus. Et attention pas x y c'est ça le détail qui a son importance. C'est clairement un sous-groupe de z carré mais il ne s'écrit pas comme le produit de deux sous-groupes puisqu'alors il s'écrirait comme le produit de z x z qui est l'ensemble des couples x et y avec x dans z et y dans z. Mais en fait il ne s'écrit pas comme ça puisqu'alors on aurait le couple 1 2 qui appartiendrait à H ce qui n'est pas le cas puisque j'ai insisté là dessus et je réinsiste, H c'est l'ensemble des couples xx avec x dans z. Donc si je l'explicite un peu ce serait par exemple (-1, 0, 0), en fait tous les couples qui ont les mêmes éléments à gauche et à droite. La réponse est donc non et on vient d'exhiber un contre-exemple. Merci à tous.

Morphisme de groupe

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