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Loi usuelles, groupes

Dans cette vidéo, Corentin explique la notion d'automorphisme, qui consiste à déterminer les morphismes injectifs et surjectifs de Z' plus dans lui-même. 
Il commence par rappeler ce qu'est un morphisme de groupe, en expliquant que c'est une application qui respecte les lois du groupe. 
Ensuite, il montre que pour tout morphisme f de Z' dans Z', f de n est égal à n fois f de 1, grâce à une démonstration par récurrence. 
Il précise que cette égalité est valable aussi pour les nombres négatifs. 
Ainsi, les morphismes de Z' plus dans Z' plus sont les fonctions qui vérifient f de n est égal à n fois f de 1, pour tout n dans Z. 
Ensuite, il se concentre sur les morphismes surjectifs et trouve que f de 1 est égal à -1 ou 1. 
Il conclut que les morphismes surjectifs sont ceux qui vérifient f de n est égal à n ou -n. 
Enfin, il aborde les morphismes injectifs en utilisant le théorème selon lequel un morphisme est injectif si et seulement si le noyau de f est réduit à l'élément neutre. 
Il montre que le noyau de f est égal à 0 si f de 1 est différent de 0, ce qui implique que f est injectif. 
Sinon, si f de 1 est égal à 0, alors f n'est pas injectif car tous les éléments n de Z vérifient f de n est égal à 0.
Il conclut que tous les morphismes de Z' plus dans Z' plus sont injectifs, sauf l'application identiquement nulle.


Salut à tous, c'est Corentin. Bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui sur un exercice assez classique que je trouve assez important à maîtriser et à connaître puisqu'il traite de la notion fondamentale d'automorphisme. L'énoncé de ce dernier est assez simple puisqu'il nous demande simplement de déterminer tous les morphismes de Z' plus dans lui-même et parmi ces derniers, de déterminer lesquels sont injectifs et lesquels sont surjectifs. Ce que je vous propose de faire, c'est de commencer par quelques rappels. Sur ce qu'est un morphisme de groupe dans un premier temps, soit G et G' de groupe, un morphisme de groupe, il s'agit d'une application qui va de G dans G' et qui vérifie pour toutes X et X' dans G, f de X point X' avec point la loi de G est égale à f de X étoile f de X' avec étoile la loi de G'. Une petite propriété complémentaire, soit f un morphisme de groupe de G, d'élément neutre E, dans G' d'élément neutre E', eh bien on a f de E qui est égal à E'. Vous allez voir, ça va nous être utile tout à l'heure. Si je rapporte cela à mon exercice, concrètement ce qu'on a, c'est que pour f allant de Z' dans Z', on a pour tout A et B dans Z, f de A plus B est égal à f de A plus f de B, et f de 0 est égal à 0. Passons maintenant à notre première analyse synthèse. Soit f donc un morphisme quelconque de Z'. Moi ce que je veux montrer, c'est que ça, ça nous implique que pour toute n appartenant à n étoiles, f de n est égal à n fois f de 1. Et ce que j'ai envie de faire, c'est de le montrer par récurrence. Initialisation, trivialement c'est vrai pour n égal à 1, puisque f de 1, c'est égal à 1 fois f de 1. Passons directement donc à l'hérédité. f de n plus 1, c'est égal à f de n plus f de 1, car f est un morphisme. Mais par hypothèse de récurrence, f de n, j'ai le droit de dire que c'est égal à n fois f de 1. A partir de là, en factorisant par f de 1, je trouve bien que f de n plus 1 est égal à n plus 1 fois f de 1. Ma récurrence est montrée. Mais qu'en est-il pour les n inférieurs ou égales à 0 ? Là, je ne vous apprends rien. Mon n est supérieur ou égal à 0. Et donc, j'ai le droit de dire que f de moins n est égal à moins n fois f de 1. Mais on en réduit alors. Puisque 0 est égal à f de 0, ça c'est la propriété que je viens de vous rappeler, et que f de 0 est égal à f de n plus moins n, là il faut faire preuve d'un peu d'astuce, puis en séparant, puisque f est un morphisme, puis en sortant moins n, puisqu'on le rappelle, n est négatif, donc moins n est positif, on a le droit de le sortir, puis en passant cette quantité à gauche, on trouve bien que f de 1, n fois f de 1 est égal à f de n. Et ça, pour n négatif, puisque c'est ce qu'on prend ici. Ainsi, on en réduit, qu'on a toujours f de n est égal à n fois f de 1, et ce, quel que soit n, dans z cette fois-ci. Et on a gagné. Donc, les morphismes de z plus dans z plus sont les fonctions qui vérifient f de n est égal à n fois f de 1, et ce, pour toute n dans z. Parmi ces derniers, trouvons ceux qui sont surjectifs. F est surjectif, encore une fois, c'est un raisonnement par analyse synthèse que je suis en train de faire. F est surjectif, donc, moi ce que je vais vouloir, c'est de trouver une forme particulière, puis vérifier si cette forme particulière que je trouve vérifie bien f morphisme surjectif. Voilà, c'est ça l'idée. Reprenons. F est surjectif, donc f de z est égal à z. Autrement dit, l'image de z par f est z. On sait de plus que tout élément de l'image de z par f est un multiple de f de 1, puisque c'est ce qu'on vient de montrer plus haut. On a donc forcément f de 1 est égal à moins 1, ou f de 1 est égal à 1. Par exemple, si on avait, j'en sais rien, f de 1 est égal à 2, du coup, f de z, ce ne seraient que les noms repères, puisqu'on aurait f de n, qui est égal à n fois f de 1, qui est égal à n fois 2. Donc on n'aurait pas tout le monde. Pour avoir tout le monde, on est obligé d'avoir f de 1 est égal à moins 1, ou f de 1 est égal à 1. Et donc, fatalement, on a bien f de n est égal à n, ou f de n est égal à moins n. Réciproquement, je vérifie bien que ces deux applications marchent, et on remarque que ce sont bien des morphismes surjectifs de z plus dans z plus. Passons à présent au morphisme injectif. Et là, ce que je vous propose, c'est de vous rappeler un petit théorème. Sous f, un morphisme de groupe, on sait que f est injectif si et seulement si le noyau de f est égal à e, à l'élément neutre sur g. Concrètement, si pour tout x dans G, f de x est égal à e prime implique x est égal à e, avec e prime, l'élément neutre, sur G prime, le groupe image. Allons-y. Commençons notre analyse. Soit n dans le noyau de f, puisque f est injectif, on a f de n qui est égal à n fois f de 1, qui est égal à 0. Et là, deux cas s'offrent. Soit f de 1 est différent de 0, et alors on a f de n égal à 0 qui est équivalent à dire que n est égal à 0, et alors on a bien f qui est injectif. Ou alors f de 1 est égal à 0, et alors f n'est pas injectif, puisque tous les éléments n appartenant à z vérifient f de n est égal à 0. Conclusion, tous les morphismes de z plus dans z plus sont injectifs, sauf l'application identiquement nulle, c'est celle-ci. Merci d'avoir regardé.

Automorphisme

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