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Anneaux corps

Aujourd'hui, nous avons un exercice sur la démonstration que Q (les nombres rationnels) n'admet pas d'autres sous-corps que lui-même. 

Pour prouver cela, nous utilisons une double inclusion. Tout d'abord, nous montrons que Q est inclus dans tout sous-corps K de Q. Puisque K est un sous-corps de Q, nous savons que 0 et 1 appartiennent à K, et K est stable par addition et multiplication. Donc, pour tout entier naturel n, n appartient à K, et l'ensemble des entiers relatifs est également inclus dans K.

Ensuite, nous considérons X appartenant à Q privé de 0. Nous montrons que X peut s'écrire comme P/Q, avec P et Q appartenant à K. Puisque K est un corps, 1/Q appartient également à K. Par conséquent, P * (1/Q) appartient à K, ce qui signifie que X appartient à K. De plus, nous savons que 0 appartient à K.

Ainsi, nous avons montré que Q est inclus dans K et vice versa. Par conséquent, il n'existe pas d'autres sous-corps que Q pour Q lui-même. Merci à tous.

Hello tout le monde, c'est Corentin. On se retrouve aujourd'hui autour d'un exercice que je trouve assez important à maîtriser et à connaître puisqu'il est assez fondamental et puis on risque de vous poser cette question-là aux euros. Alors commençons tout de suite par l'élection de l'énoncé. L'énoncé est assez court puisqu'on nous demande simplement de démontrer que Q n'admet pas d'autres sous-corps que lui-même. Très bien. Eh bien, soit K un sous-corps de Q, on va vouloir montrer que K est égal à Q. Mais pour montrer une égalité d'ensemble, on montre une double inclusion. La première inclusion est assurée par le fait que K est un sous-corps de Q et cette inclusion-là, il va falloir qu'on la montre. Très bien. Montrons que Q est inclus dans K. Comme K est un sous-corps de Q, on sait déjà que 0 et 1 appartiennent à K. Aussi, K est stable par plus. Donc 2, 3, n qui est égal à n-1 plus n appartiennent à K. Pour toute n appartenant aux entiers naturels, n appartient à K. De même, par stabilité par passage à l'opposé, on sait que l'ensemble des entiers relatifs est inclus dans K. Très bien. Passons aux choses sérieuses. Soit X appartenant à Q privé de 0. On sait que X peut s'écrire comme P sur Q avec P appartenant à Z et Q appartenant à n étoiles. En particulier, P et Q appartiennent à K et K est un corps. Donc 1 sur Q appartient encore à K puisque Q est différent de 0. On en déduit donc par stabilité par le produit que P fois 1 sur Q, qui est égal à mon X que j'ai pris là, appartient à K. Conclusion, on vient de prendre un X dans Q privé de 0. On a montré que celui-ci appartenait à K et on sait ici de plus que le 0 appartient aussi à K. Conclusion, Q est inclus dans K. Ajoutez à cela l'inclusion réciproque puisque K est un sous-corps et on a égalité d'ensemble. Donc Q n'admet pas d'autres sous-corps que lui-même. Merci à tous.

Exemple d’anneau

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