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Anneaux corps

Le sujet de cette vidéo est la démonstration que l'ensemble Z racine de 2, muni des opérations d'addition et de multiplication, est un anneau. Pour cela, l'orateur rappelle la définition d'un sous-anneau et montre que Z racine de 2 en est bien un. Ensuite, il introduit une fonction, n, associée à la transformation d'un élément de Z racine de 2 en une expression algébrique, et démontre que cette fonction est multiplicative. En utilisant cette propriété, il parvient à trouver les éléments inversibles de Z racine de 2, à savoir ceux qui s'écrivent A plus B racine de 2 avec A carré moins 2B carré égal à plus ou moins 1. En conclusion, l'orateur souligne l'importance de la méthode d'analyse synthèse dans la recherche des inversibles et rappelle l'efficacité de cette approche pour réussir un concours.

Salut à tous c'est Corentin, bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui autour d'un exercice que j'ai mystérieusement intitulé un anodentier. Commençons tout de suite par la lecture de l'énoncé. On considère Z racine de 2, un ensemble qui s'écrit A plus B racine de 2 avec A et B dans Z, et on veut montrer que cet ensemble là, muni de la loi plus et de la loi fois, c'est un anodentier. Dans un second temps, on a introduit une fonction qui a A plus B racine de 2 associée à A carré moins 2B carré, et on veut montrer que pour tout x et y dans Z racine de 2, cette fonction est multiplicative. Ensuite, on va en déduire que les éléments inversibles de Z racine de 2 sont ceux s'écrivant A plus B racine de 2 avec A carré moins 2B carré est égal à plus ou moins 1. Commençons. Pour montrer que Z racine de 2, muni de plus et de fois, est un anneau, il suffit de montrer que c'est un sous-anneau de R plus muni de la loi fois. Mais ça je voulais répéter, pourquoi ? Parce que c'est plus rapide, c'est beaucoup plus rapide à faire et c'est beaucoup plus intuitif. Ce que je vous propose de faire, c'est de vous rappeler ce que c'est un sous-anneau. Une partie de B de l'anneau A est un sous-anneau de A, si et seulement si le neutre dans A pour fois appartient à B, si ensuite B est stable par plus, B est stable par moins et B est stable par fois. C'est aussi simple que ça. Ici, en l'occurrence, 1 est égal à 1 plus 0 fois racine de 2, et ça appartient bien à Z de racine de 2. L'élément 1, le point 1 de la définition est vérifié. Ensuite, vérifions que c'est stable par addition, très bien, j'additionne. Je remarque que ça appartient bien à Z, ça appartient bien à Z en factorisant par racine de 2. Très bien, ça appartient bien à Z de racine de 2. Ensuite, pareil, en multipliant par moins. Et enfin, en effectuant la multiplication de A plus B racine de 2 fois A prime plus B prime racine de 2, avec ces deux éléments qui sont en Z de racine de 2, en développant, en réduisant, en factorisant. On remarque que ça appartient bien à Z, ça aussi, c'est tout. Z de racine de 2 est bien stable par la multiplication. Conclusion, Z de racine de 2 est un anneau en tant que sous-anneau de R muni de plus et de fois. Beaucoup plus rapide que de montrer, de but en blanc, que c'est un anneau et en vérifiant toutes les hypothèses, on ne veut pas ça, nous ce qu'on veut c'est être simple et efficace. C'est comme ça qu'on réussit des concours. Montrons à présent que cette application n qu'on a introduit à la question 2, elle est multiplicative. Posons x est égal à A plus B racine de 2, y est égal à A prime plus B prime racine de 2. D'une part, n de x fois y c'est égal à n de x fois y, en multipliant puis en factorisant. C'est exactement le même calcul que pour montrer que Z est stable parfois. On multiplie et ensuite on applique la définition de n. On trouve que c'est égal à cette formule là. Et d'autre part, on fait cette fois-ci n de x fois n de y. On mène notre calcul encore une fois et puis on remarque que les deux sont égales. Conclusion, n est bien multiplicative. Et ça donc on doit s'en servir pour trouver les éléments inversibles de Z de racine de 2. Moi ce que j'ai envie de faire, comme d'habitude, pour trouver les inversibles d'un groupe ou d'un anneau ou de tout ce qu'on veut, on fait une analyse synthèse. On prend un élément inversible, on le suppose et puis on voit ce que ça force sur celui-ci. C'est-à-dire on cherche de trouver la forme qu'il a cet élément inversible et puis ensuite on va dans l'autre sens. C'est-à-dire avec la forme de cet élément qu'on a trouvé là, on voit si ça marche. Donc on le cherche et ensuite on vérifie que ce qu'on a trouvé marche. C'est ça l'idée de l'analyse synthèse. Là on analyse, très bien, soit x un élément inversible d'inverse y. Donc n de x fois y, par définition de l'inverse, c'est égal à n de 1 puisque y est l'inverse de x. Mais sauf que n de 1, je le connais, c'est égal à 1. Et donc, puisque n de xy est égal à n de x fois n de y, on a n de x fois n de y qui est égal à 1. Mais on sait que n de x et n de y sont tous les deux des entiers. Donc en fait on a nécessairement n de x est égal à plus ou moins 1 et ça je vous laisse le vérifier par vous-même. C'est-à-dire que si on a deux entiers, le produit de deux entiers qui est égal à 1, c'est qu'ils sont égales à plus ou moins 1 chacun, il n'y a pas de possibilité. Très bien, donc en supposant que x était inversible, on a trouvé une condition sur x. Vérifions que cette condition marche bien et qu'on a bien cherché au bon endroit. Soit x appartenant à z de racine de 2, vérifiant n de x est égal à plus ou moins 1. Et nous ce qu'on va voir c'est si x est bien inversible. Oui, il l'est, puisque à ce moment-là, x est inversible d'inverse 1 sur a plus b racine de 2. Mais ça on a le droit de dire que c'est égal à a plus b de racine de 2 fois a moins b racine de 2. En multipliant par le conjugué de cette quantité-là en haut et en bas d'une fraction, c'est un peu la même idée que pour les complexes mais pour les racines carrées. C'est-à-dire que devant la racine carrée on va mettre un moins, on va multiplier en haut et en bas et on va voir que par magie ça se simplifie. On passe au conjugué et on remarque que par hypothèse, puisque n de x est égal à plus ou moins 1, ça c'est égal à plus ou moins 1. Mais du coup on n'obtient que l'inverse de x qui est ça, c'est égal à plus ou moins a moins b racine de 2. Conclusion, on a réussi. x est inversible et la seule forme qu'on a pour un inverse dans un sous-corps de R, c'est cette forme-là et on remarque que cette forme-là appartient bien toujours à z de racine de 2 puisque ça appartient à z de racine de 2 puisque ça appartient à z et ça appartient à z. Conclusion, on a gagné. Je résume parce que cette partie est vraiment importante. On a supposé que x était inversible dans l'implication directe et on a trouvé une condition sur x ensuite. Ensuite on a vérifié que cette condition sur x qu'on a trouvée en supposant x inversible, elle implique bien que x est inversible. Donc on va dans l'autre sens, on fait un double check. Pourquoi ? Parce qu'en fait on sait que l'inverse de x, on le devine toujours lorsqu'on est dans des sous-corps de R, c'est toujours le 1 sur x. On le sait, on a fait des calculs dans R. Mais là souvent la difficulté c'est de savoir si ce x appartient toujours à ce sous-corps. En l'occurrence, on n'est vraiment pas sûr que ça appartienne toujours à z de racine de 2. En effet, il faut que ça soit égal à plus ou moins 1 et ça c'est assuré par n de x est égal à plus ou moins 1. Conclusion, on a gagné. Merci à tous.

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