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Bases et dimension d'un ev

Dans cette transcription de vidéo, il est question de démontrer qu'une famille de polynômes dans l'espace des polynômes de degré n forme une base si les degrés des polynômes sont échelonnés. C'est un théorème courant et facile à démontrer. L'auteur mentionne qu'il a utilisé ce théorème lors d'un exercice oral pour résoudre l'exercice plus rapidement. Il explique également comment écrire un polynôme dans une certaine forme en utilisant des polynômes avec des degrés échelonnés. L'auteur donne des détails étape par étape pour effectuer cette transformation. Il conclut en rappelant l'importance de connaître ce théorème et souhaite retrouver le public dans une prochaine vidéo.

Un exercice très intéressant qui va se passer dans l'espace des polynômes de degrés n. Donc on vous dit, montrez que toute famille de polynômes p0, pn avec des degrés qu'on appelle échelonnés, c'est à dire qu'en gros on a un polynôme de chaque degré entre 0 et n, sera une base. Ça c'est ultra classique, limite c'est pas un exo honnêtement, c'est un théorème de courte, il faut savoir ça, c'est très facile à démontrer donc je vais vous le faire, mais voilà c'est un truc qu'il faut connaître par coeur, il faut l'utiliser, ça peut être une source de création de base aussi, vous pouvez dire comme ça grâce à ce théorème que x-2, x-2 au carré, jusqu'à par exemple x-2 puissance n, c'est une base. Vous pouvez utiliser ça, je me souviens d'un exercice d'oral où en utilisant une base avec des degrés échelonnés bien adaptés, j'ai pu déchirer l'exo qui aurait pris genre 15 minutes de plus en utilisant la base canonique. Ce truc là vous permet de détecter des bases et aussi d'en construire qui peut être pratique pour vous dans la résolution d'exercice. C'était un oral de genre centrale, c'était un truc de deuxième année, j'ai été sauvé par l'usage libéral de ce théorème, c'est à dire l'usage où je le prends pour moi et je crée une base avec. Dans la base canonique, pour moi c'est assez simple, dans la base canonique on écrit 1xn, mes p0, pn vont s'écrire comme ça, je vais zoomer un petit peu, mes p0, pn vont s'écrire comment ? p0 va avoir un coefficient unique, tout le reste c'est 0, p1 va avoir un coefficient a1, a2, a2, tout le reste c'est 0, etc. Le dernier aura des coefficients sur 1, sur x, sur x2, et sur xn. Donc bien entendu tous les aii, donc a1, a2, a2, la diagonale ici, sont non nuls, parce qu'on dit ils sont de degrés 0 à n, donc il faut que ceux là soient non nuls. Ici j'ai un échelonnage type Gauss. Vu que j'ai un échelonnage de fait dans la base canonique, et bien je sais que cette famille est libre, ça prend une demi seconde de faire le test de liberté, vous voyez que tout ce coefficient ici va être nul, ça entraîne la nullité de celui-ci, etc. Test de liberté trivial, ou bien carrément dire, soit vous dites c'est échelonné donc c'est libre, soit vous faites le petit test en deux minutes. Donc ça c'est top. Question 2, ensuite on vous dit juste, écrire le polynôme sous la forme je sais pas quoi, en fait là on va le faire rapidement, c'est juste une méthode de faire apparaître les polynômes comme il faut. Donc on sait que 1-x, x-x2, x2-x3 sont de degrés échelonnés, ça se voit, degrés 1, 2 et 3 ici, puis degrés 0, donc avec la question 1 on sait que ça va être possible d'écrire ce truc là, dans la forme qui est demandée, et donc il faut juste le faire. On a la conviction que c'est faisable, on va donc le faire, la question d'après c'est la même chose avec un polynôme un peu plus compliqué. Je vais vous montrer comment faire ça, alors c'est étape par étape, step by step j'appelle ça. Vous partez du plus haut degré, et moi je sais que je veux faire apparaître x3-x2 donc je le force. Je force l'apparition, je fais 8x3, je le remplace par 8x3-x2 et je compense les x2 qui ont été rajoutés. Je fais donc "-8x2, plus 8x2, avec ce "-x2", ça fait plus 7x2. Je réitère la démarche, 7x², je fais apparaître x²-x, je compense les "-7x", avec le plus 7x et le 3x, ça fait 10x. Je refais une dernière fois cette étape, où j'écris un peu tout bien dans l'ordre comme il nous demande. Donc c'est x2-x3, le polynôme, je fais un petit moins. x-x2, je mets un signe moins aussi. 10x, je mets un signe moins, je fais x1-x. Ça me fait ajouter "-10", j'ai un plus 10 ici. Voilà mes paramètres A, B, C, D, je ne sais plus quoi. Ça se fait tout seul, step by step, à vous de bosser pour l'autre. Voilà, je n'ai pas fait l'autre mais c'est exactement la même démarche, un peu plus long parce que les polynômes sont un peu plus compliqués, mais c'est gérable. Posez-moi des questions si vous en avez, retenez bien ce théorème classique par cœur, très utile, et je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Bye bye !

Base d’espace de polynômes

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