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Applications linéaires et théorème du rang

Dans cet exercice, nous étudions les applications linéaires dans l'espace des polynômes de degré n. Il est important de noter que cet espace a une dimension de n+1, contrairement à ce que l'on pourrait croire. La base de cet espace est composée des polynômes de degré n, n-1, 1 et 0. 

Dans cet exercice, nous avons une application linéaire définie par phi(p) = p(x+1) - p(x). Pour vérifier que c'est un endomorphisme, il faut montrer que c'est linéaire et que l'image de phi est incluse dans E. Pour la linéarité, on peut simplement le mentionner car c'est évident puisque tout est défini avec des signes moins. Pour montrer que l'image de phi est incluse dans E, on calcule phi(xi) et on utilise le binôme de Newton. On trouve que l'image de phi est incluse dans l'ensemble des polynômes de degré n-1.

Ensuite, on s'intéresse à l'égalité de phi au carré, c'est-à-dire phi². On remarque que l'image de phi n'est pas égale à l'espace E, mais elle est incluse dans E. Les polynômes de degré n ne sont jamais atteints par phi. Il est important de ne pas commencer par résoudre phi², mais plutôt d'étudier l'image de phi, car cela peut simplifier les choses.

On utilise le théorème de Durand, qui dit que la dimension de l'image de phi plus la dimension du noyau de phi équivaut à la dimension de l'espace de départ. Dans notre cas, la dimension de l'image de phi est n-1 et la dimension de l'espace de départ est n+1. Donc la dimension du noyau de phi est de 1. En utilisant l'astuce que si deux espaces ont la même dimension et que l'un est inclus dans l'autre, alors ils sont égaux, on peut conclure que le noyau de phi est égal à l'espace E.

En résumé, dans cet exercice, nous avons étudié une application linéaire dans l'espace des polynômes de degré n. Nous avons montré qu'elle est linéaire et que son image est incluse dans l'ensemble des polynômes de degré n-1. De plus, nous avons utilisé le théorème de Durand et l'astuce de la dimension pour montrer que le noyau de l'application est égal à l'espace E.

Hello, aujourd'hui un exercice sur les applications linéaires, un peu particulier, enfin assez classique en même temps, parce qu'on va se placer dans l'espace des polynomes de degré n. Alors ce qui est intéressant avec cet espace, c'est qu'il y a une erreur typique, c'est de croire qu'il est de dimension n. Il faut bien se rappeler que cet espace de dimension n a une base canonique 1, x, x2, x puissance n. Bon ça veut dire qu'il contient des polynomes de degré n, n-1, 1, mais aussi 0. Donc en fait on voit qu'il y a dans sa base canonique 0, 1 jusqu'à n, n plus 1 élément, ce qui explique sa dimension n plus 1. Alors soit phi l'application définie ainsi, donc phi de p associe l'évaluation de p en x plus 1 moins l'évaluation de p en x. Première question, vérifier que c'est un endomorphisme. Deux points ultra importants à toujours retenir quand on vous dit montrer que c'est un endomorphisme, ou vérifier, il faut penser à 1, vérifier que c'est linéaire, 2, vérifier que l'hymne de phi est bien inclus dans E pour qu'on puisse écrire phi de E reste dans E, c'est ça un endomorphisme. Donc phi linéaire honnêtement souvent il faut juste le montrer entièrement, c'est pas souvent nécessaire, il suffit juste de le dire et de montrer à votre correcteur ou à votre caller, de montrer que vous y avez pensé ou que vous savez que c'est une application linéaire. Pourquoi est-ce qu'elle est linéaire ? Si il faut le démontrer ça prendra une ligne, vous mettez phi de p plus lampe d'accu, vous voyez que ça fera ce qu'il faut, parce qu'ici tout est défini avec un signe moins, donc c'est de la linéarité. Montrer que hymphi est inclus dans E c'est intéressant, en plus ça va nous donner des petites idées sur la question 2, où il faut déterminer hymphi équerre phi. Donc on va étudier l'image de chacun des éléments de la base par phi, donc je calcule phi de x i, donc je prends en x plus 1 le polynôme x puissance i, ça fait 1 plus x puissance i moins x puissance i, et j'applique le binôme de Newton. Binôme de Newton pour le premier ça donne ça, donc j'ai des termes qui vont jusqu'à x puissance i, j'enlève le x puissance i ici, il ne me reste plus que des termes qui montent jusqu'au degré i moins 1. Donc je sais que hymphi est compris dans Rn moins 1 de x, l'ensemble des polynômes de degré n moins 1, donc c'est inclus dans Rn, donc inclus dans E, ça marche, c'est un anamorphisme. Mais j'ai déjà un début de réponse à ce qu'il se passe ici. Je sais déjà, c'est pas une réponse complète, mais que équerre phi n'est pas réduit à 0. Il y a plus que ça, pourquoi ? Parce que hymphi n'est pas égal à E, il est inclus dans E, mais il est plus petit. Les polynômes de degré n ne sont jamais atteints par phi. Donc ça c'est intéressant, et justement dans la question 2, souvent les élèves ont, j'ai remarqué dans mes cours, ont le réflexe de se dire je commence par équerre phi, c'est facile, parce qu'il faut résoudre une équation que j'aime bien, genre phi de qu'il y a de 0 et trouver le q pour lequel c'est vrai. C'est pas faux, enfin c'est pas faux que ça peut être intéressant, mais hymphi, quand on l'a, ça peut vraiment nous simplifier la vie. Donc regardons un petit peu, on a hymphi qui est vect de phi de 1 phi de xn, en fait j'ai déjà fait le travail au dessus, je sais que hymphi c'est vect de 1x jusqu'à xn-1, parce qu'à chaque fois j'ai le degré de phi de xi qui est égal à i-1, voilà c'est facile. Donc intéressant, hymphi est taille n. Moi à côté j'ai le théorème Durand. Le théorème Durand me dit que la dimension de hymphi plus la dimension de noyaux ça fait la taille de l'espace de départ. Donc théorème Durand, les gars classiques et pratiques, on va utiliser plusieurs choses, le théorème Durand va me dire en gros que la dimension du noyau ici, vu que ça c'est la dimension n et que la dimension de l'espace total c'est n plus 1, la dimension du noyau ça va être 1. Et donc je vais combiner ce théorème Durand avec la méga pratique astuce, qui est apparemment une astuce, c'est une propriété de cours qui est, si j'ai un espace f inclus dans G et que les deux espaces ont la même dimension, alors f égale G. C'est comme si j'avais un espace qui rentrait dans un autre et on sait qu'il y a la même dimension, en fait ils font la même taille, et donc forcément en fait c'est les mêmes. Je commence avec cette idée là et je me rends compte en fait que le premier est complètement en train de remplir le deuxième, donc ils sont égaux. C'est une visualisation comme on peut, donc si je combine ces deux éléments ça va marcher pour moi. Il suffit en fait, vu que je sais que le théorème Durand, je sais que la dimension du noyau c'est égal à 1, c'est la dimension de l'espace moins la dimension de l'image, du rang donc, je sais que c'est égal à 1. Donc il suffirait que je trouve un élément qui se fait envoyer sur 0 pour être bon. Or ici dans mon calcul de infi j'ai trouvé que phi du polynôme 1 valait 0, parce que phi du polynôme 1 c'est quoi ? C'est le polynôme 1 évalué en x plus 1, ben ça fait 1, moins le polynôme 1 évalué en x qui fait 1. Donc d'un côté j'ai trouvé que vect de 1 appartient à Kerphi parce que phi de 1 vaut 0, ok ? Donc j'ai vect de 1 qui va jouer le rôle de petit f ici, enfin de grand f, et j'ai Kerphi qui va jouer le rôle de grand G. Le vect de 1 c'est la dimension 1. Kerphi je sais que c'est dimension 1 et que le terme du rang. Vu que vect de 1 est inclut dans Kerphi et qu'ils ont la même dimension, je peux conclure. Et ça c'est stylé. En fait conseil, d'abord étudiez imf avant Kerphi. Pourquoi ? Parce qu'en fait Kerphi comme ça, si j'ai du résoudre, ça se résout, mais ça me fait résoudre une équation alors que je peux avoir un bel argument de taille et de dimension qui me permet d'aller plus vite. J'espère que ça vous a aidé et je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Bye bye !

Noyau et image

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