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Applications linéaires et théorème du rang

Dans cet exercice, on considère un espace vectoriel E de dimension finie et deux endomorphismes F et G qui vérifient les équations E = kref + krg et E = imef + img. L'objectif est de montrer que les sommes sont directes, c'est-à-dire qu'il n'y a aucun élément commun à part 0. 

Pour résoudre cet exercice, on utilise le théorème du rang qui nous donne des expressions pour la dimension de E en fonction du rang de F et G ainsi que de la dimension de leurs noyaux respectifs. On utilise également la formule pour la dimension d'une somme d'espaces.

En appliquant ces formules, on obtient deux équations donnant le rang de F plus le rang de G. En combinant ces équations, on montre que le rang de F plus le rang de G est égal à la dimension de E. Cela implique que la dimension de l'intersection des noyaux est nulle, ce qui prouve que les sommes sont directes.

Cet exercice nécessite de bien connaître les formules du théorème du rang et de la dimension d'une somme d'espaces. Il est conseillé de poser les formules et de faire des calculs intermédiaires pour vérifier les résultats.

Alors dans cet exercice, on vous dit soit E un cas espace vectoriel de dimension finie, on a FPG deux endomorphismes qui vérifient à la fois E égale kref plus krg et E égale imef plus img. Donc, alors montrer que les sommes sont directes, là on a donc justement des sommes qui ne sont pas directes, c'est le premier truc à remarquer, c'est qu'on nous dit propriété, E peut se décomposer sur ces deux-là, peut-être pas de manière unique, donc peut-être pas de manière, bah oui, peut-être pas de manière unique, et aussi de cette manière-là. Donc, vu qu'il y a de la dimension ici, je vais pouvoir utiliser mon théorème du rang, et avec les deux formules qui sont ici, je vais pouvoir résoudre l'exercice. Rappel sur le théorème du rang, si j'ai E un espace vectoriel de dimension, avec une dimension, on s'en fiche de certaines dimensions, on finit en tout cas, avec F un endomorphisme, j'ai toujours la dimension de E égale rang de F plus dim du noyau de F. Ensuite, j'ai aussi la formule ici qui est très importante, dimension d'une somme d'espace F plus G, c'est la dimension de l'espace F plus la dimension de l'espace G, moins la dimension de ce qui est commun. Et c'est ça qui différencie la somme de la somme directe. La somme directe, il n'y a aucun élément en commun à part 0, donc si la somme est directe, j'ai quelque chose comme ça, et donc je retrouve que la dimension de la somme directe est égale à la somme des deux ensembles. Petit exemple pour illustrer rapidement, R3 par exemple, ça peut être vu comme vect de i, j, k, vous savez les trois vecteurs de la base, on pourrait l'écrire R3 vect de i, j plus somme directe vect de k. C'est-à-dire dire que c'est à la fois une somme d'abord d'un plan, comme ceci, et d'une dimension z vers le haut, comme ça. Donc tout vecteur peut se faire décomposer en deux parties. On pourrait aussi voir R3 comme vect de i, j plus somme pas directe vect de j, k. Bon là, si vous voyez, il y a un truc qui est commun dans les deux, il y a un j qui est deux fois. Et en effet, la dimension ici, c'est 3, c'était la somme des deux autres, moins la dimension de ce qui est commun aux deux, ça fonctionne. Donc voilà, j'ai cette formule-là qui est pratique, théorème Durand, et ici je vais pouvoir les appliquer, jouer un peu sur les formules pour répondre à la question. Donc, dim de kref plus kreg, ça en fait c'est dim de e, vu qu'on a dit que e est égale à kref plus kreg, donc j'ai n égale dim de kref plus dim de kreg, moins dim de l'intersection. Ok, dim de kref, théorème Durand, c'est n moins rang de f, dim de kreg, n moins rang de g. Donc ça me donne rang f plus rang g, si je simplifie un peu l'équation, je vire un n, je mets rang f et rang g de l'autre côté, j'obtiens rang f plus rang g égale n moins dim de la dimension de l'intersection des noyaux. Ça c'est plus petit ou égal à n, parce que cette dimension-là est soit égale à 0, soit à plus, donc voilà, ça c'est plus petit ou égal à n. Ok, de la même manière j'ai dim de imf plus img, c'est aussi e, ça c'est l'énoncé qui me le donne, donc j'ai n égale rang f plus rang g moins dimension de l'intersection. Même jeu, je remplace ici le n, j'obtiens rang f plus rang g et j'ai une autre expression. Donc en fait, en attaquant l'exercice par d'abord cette définition, puis cette définition, j'obtiens deux équations qui me donnent rang f plus rang g. Bon, j'applique donc tout ce que j'ai à ma disposition, et j'obtiens d'un côté rang f plus rang g est plus petit ou égal à n, de l'autre côté rang f plus rang g est plus grand ou égal à n. Si je suis à la fois plus grand et plus petit qu'un nombre donné, je suis égal à ce nombre. Donc rang f plus rang g est égal à n, donc la dimension des intersections est nulle à chaque fois, et donc les sommes sont directes. Voilà, donc c'est un exercice où il faut être juste un petit peu discipliné, poser ses formules, bon déjà les connaître, bien connaître celles-ci bien sûr, mais ensuite ça roule tout seul. Il faudra un petit peu d'adresse, je vous conseille de reprendre et d'essayer si vous n'êtes pas sûr, poser des questions s'il y a besoin. Je vous retrouve dans une prochaine vidéo.

Théorème du rang

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