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Applications linéaires et théorème du rang

Dans cet exercice, nous étudions des applications linéaires avec des exemples concrets d'applications linéaires et nous déterminons les noyaux et les images de ces applications. Nous examinons chaque application pour déterminer si elle est injective, bijective ou surjective. En dimension finie, être injective, surjective ou bijective est complètement équivalent. Être injective signifie que le noyau est réduit à zéro. Être surjective signifie que l'image est égale à l'espace d'arrivée. Être bijective signifie que les deux sont vrais. En dimension infinie, cela peut être différent. Pour chaque fonction, nous analysons si elle est endomorphisme en restant dans R2 ou R3. Si les espaces de départ et d'arrivée sont différents ou si les dimensions sont différentes, cela ne sera pas un endomorphisme. En utilisant la technique de rédaction en colonne, nous pouvons déterminer l'image de chaque fonction. Nous utilisons des combinaisons linéaires pour trouver des vecteurs indépendants qui composent l'image. Nous utilisons également ces combinaisons linéaires pour trouver les vecteurs du noyau en utilisant une équation de la forme f(x) = 0. En comprenant les relations entre les vecteurs dans l'espace d'arrivée, nous pouvons déterminer les éléments du noyau.

Dans cet exercice, on va faire une application assez concrète, avec des exemples d'applications linéaires, sur comment déterminer un noyau, comment déterminer une image. On va regarder pour chacune des applications suivantes, qui seront linéaires on nous le donne, donc il n'y aura pas à le démontrer, ce qu'il se passe, on pourra en déduire si F est injective, bijective ou surjective. L'avantage de la dimension finie, vraiment ce que je dis c'est que en dimension finie, l'avantage principal c'est que être injective c'est complètement équivalent à être surjective ou à être bijective. Être injective, ça veut dire que le noyau est réduit à zéro. Être surjective, ça veut dire que l'image est égale à l'espace d'arrivée, ça peut être E, ça peut être F. Bijective, c'est avoir les deux, mais en fait, vu qu'on a le théorème du rang qui lit les deux notions, qui nous dit que la dimension des deux doit s'additionner pour faire la dimension de l'espace total, les trois sont équivalentes. En dimension infinie, ce qui arrive dans certains exercices, même si c'est au programme, ce n'est pas possible. Donc on va regarder, première fonction, on voit que c'est un endomorphisme, parce qu'on reste dans R2, la deuxième aussi. Et la troisième, c'est de R2 dans R4, donc on va pouvoir voir ce qu'il se passe un petit peu. La quatrième, si on regarde, ça c'est dimension 4, ça c'est dimension 3. Pareil, ça ne sera pas un endomorphisme, ce sont deux espaces différents et en plus, deux dimensions différentes. Donc la première, très simple, on a 2x plus y, x moins y. J'aime bien vous montrer comment je fais ça. Moi, j'aime bien tout de suite le voir en passant, en général d'abord, par im de F. Donc j'aime bien réécrire les expressions déjà en colonne, je n'aime pas les lignes, je trouve qu'on n'y voit pas très clair. Donc en colonne, 2x plus y, x moins y, j'aime bien, la meilleure technique pour moi, c'est de séparer ce qui tient les x et ce qui tient les y. Donc je sors le x de chacune des lignes, et je vois ce que ça donne. Donc j'ai x fois 2, 1, plus y fois 1, moins 1. Donc on peut dire qu'im F1, c'est vect de ces deux vecteurs. On est en dimension 2, ces deux vecteurs, s'ils étaient collinaires, seraient proportionnels l'un à l'autre. Ce n'est pas le cas, ils sont donc indépendants. Donc j'ai vect de deux éléments indépendants de R2, c'est R2. Donc im de F1 est lié à R2, j'en déduis que le noyau de F1 est réduit à 0, et donc c'est bien bijectif. Facile. Je vais faire la même chose pour la deuxième fonction de R3 dans R3. Même technique, je vais dire quel est le vecteur qui va conduire mes x, le vecteur qui va conduire les y, conduire les z. J'écris ça en colonne, ce qu'on me donne ici, j'écris en colonne comme d'habitude. Je dis ok, je vois du x ici, 2 fois, 0 fois, 1 fois. Du y, 1 fois, 1 fois, 1 fois. Et du z, 1 fois, moins 1 fois, 0 fois. Alors im de F2, c'est donc vect de 2, 0, 1, 1, 1, 1, moins 1, 0. Là je vais essayer de voir s'il n'y a pas des combinaisons linéaires, ou s'il n'y a pas moyen d'exprimer un des trois en fonction de l'autre. Donc je vais écrire U1, qui est en fait F de 1, 0, 0 par définition. Si vous remplacez x, y, z par 1, 0, 0, on voit que ça c'est F de 1, 0, 0. U2, ça c'est F de 0, 1, 0. Et U3, je l'appelle U3, c'est F de 0, 0, 1. Donc c'est des images par F des vecteurs de la base canonique. Je vais m'amuser à regarder si je ne peux pas reconstruire un vecteur un peu des vecteurs, et trouver des combinaisons linéaires un peu à la main. Je vous conseille de le faire, c'est quand même assez pratique. Je vais vous montrer comment je fais ça, je vais zoomer un petit peu dessus. Je trouve que c'est beaucoup plus pratique que de lancer un test de liberté, ou un test de combinaison linéaire, ce qui marche. Un test de combinaison linéaire, vous allez la chercher par le calcul, il n'y a pas de problème, ça peut se faire. Mais c'est plus satisfaisant et plus rapide si vous vous entraînez à le faire de tête un petit peu. Ici en fait, je me suis dit, je vais utiliser, je vais fixer U2, et je vais essayer de combiner U1 et U2 pour trouver des vecteurs similaires. Alors je l'ai un peu fait à l'arrache, mais je me suis dit tiens, si je fais U3-U2, je vais essayer de faire en sorte de faire apparaître un 0 ici. Donc je fais U3-U2, et c'est parce que je veux faire apparaître un 0 que je pense à faire U3-U2. Je trouve 0-2-1. Ensuite, en fixant celui-ci toujours, c'est un genre de pivot de gauche que je fais très rapidement, je vais faire pareil, je vais faire apparaître un 0 ici en faisant U1-2U2 pour faire apparaître un 0 dans celui-là. Quand j'essaye ça, je retrouve 0-2-1, 0-2-1 de chaque côté. Je vais donc pouvoir en virer un des deux, parce que je l'ai écrit en double, et me rendre compte que ces deux vecteurs indépendants, parce qu'ils ne sont clairement pas parallèles les deux, ces deux vecteurs indépendants constituent une base de mon image. Donc ça c'est super. Une fois que j'ai trouvé ça, il m'est très facile de trouver le noyau. Parce que déjà, je sais que le noyau va être de taille 1, et en fait, avec mes combinaisons linéaires, je peux trouver un élément dont l'image se fait envoyer sur 0. Au lieu de résoudre un système, là je vous montre aussi comment on fait par le calcul mental, au lieu de résoudre un système genre f de x égale 0 si et seulement si, ce qui marcherait également, je me rends compte que là ce que j'ai écrit, c'est que j'avais U1-2U2 qui était égal à U3-U2. Tout ça je peux le traduire. Je vais remettre ça bien, il y a des U2, U2 ici. J'ai trouvé que U1-U2-U3 était égal à 0. Mais en fait, si on regarde ici, U1-U2-U3, ça peut être écrit comme f de E1, E2, E3. Je me rends compte que U1-U2-U3, c'est quelque chose comme ça. C'est en fait, laissez-moi zoomer ici. Je ne sais pas si on voit très bien. U1-U2-U3, je peux l'écrire comme f de 1, 0, 0, moins f de 0, 1, 0, moins f de 0, 0, 1. Ça, c'est par linéarité. Je peux l'écrire, c'est f de ce vecteur, je peux le calculer, 1-1-1. Je trouve qu'en fait, f de 1-1-1 égale à 0. Ça a l'air un peu tarabiscoté, mais l'idée c'est quoi ? C'est que j'ai trouvé une relation entre les vecteurs ici, qui m'a amené à dégager un élément de Imf, et on sait que dans l'espace total, j'ai Imf et Krf qui complètent un peu différemment l'espace, en tout cas en dimension. L'idée c'est d'aller utiliser ce qu'on a fait là pour trouver cet élément de Krf. On va pouvoir écrire vect de 1-1-1 est inclus dans le Krf. Dimension de Krf égale 1, c'est l'astuce vue dans une vidéo précédente. Si j'ai deux ensembles de même dimension avec l'un inclus dans l'autre, ils sont égaux. Tout de suite, ça me donne le noyau de f égale vect de 1-1-1. Il y a une technique plus classique qui serait juste de résoudre f de x égale 0. Ça fonctionne, f de x comme ça, ça fonctionne. J'aime bien aller chercher un peu ce qu'il se passe en faisant des combinaisons linéaires. Si on les écrit bien, on ne perd pas d'informations, on les écrit, on comprend qu'ici il y a ces deux là qui sont égales, ça nous donne une relation sur les vecteurs, ça nous donne une relation avec un 0, qui nous permet de trouver un vecteur qui va se faire envoyer sur 0. Et ça suffit parce qu'il m'en faut un seul pour couvrir l'ensemble du noyau.

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