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Changement de base, matrices de passages 

Ce cours traite de deux résultats sur les matrices triangulaires. 
Le premier résultat démontre que pour qu'une matrice triangulaire supérieure soit inversible, tous ses coefficients diagonaux doivent être non-nuls. 
Le deuxième résultat montre que toute matrice triangulaire supérieure peut être rendue semblable à une matrice triangulaire inférieure. 
Pour démontrer ces résultats, l'auteur utilise des méthodes de contraposée et de changement de base. Il explique en détail les étapes à suivre pour parvenir à ces conclusions. 
En utilisant des termes simples et des exemples concrets, l'auteur rend le cours facile à comprendre. Ce cours est une transcription d'une vidéo d'enseignement.

Un exercice intéressant, parce qu'il y aura deux résultats sur les matrices triangulaires. Première question, montrer qu'une matrice triangulaire supérieure est inversible si et seulement si les coefficients diagonaux sont tous non-nuls. Deuxième question, montrer que une matrice supérieure est semblable à une matrice triangulaire inférieure. On va se lancer. Pour montrer, donc là il y a un si et seulement si, je vais le faire en sens direct réciproque, le réciproque sera très simple. Sens direct, je vais supposer qu'il y en a un seul de nul déjà, donc je vais faire ça par contraposé. Supposons qu'ils sont tous non-nuls sauf un, donc le non-nul, si vous voulez, il y aura des éléments qui sont non-zéros, enfin en tout cas des éléments pas spécifiquement égaux à zéro, vu que c'est une matrice supérieure, là c'est que des zéros, et là on va supposer qu'ils sont tous non-nuls sauf celui-ci. Donc ce que je vais faire tout de suite, c'est isoler les k-1 premiers. Les k-1 premiers, ce que je vais faire avec, c'est créer une famille F de R puissance k-1. Donc ce que je vais faire dans R puissance k-1, c'est considérer des éléments qui s'écrivent a11 plein de zéro jusqu'à a1k-1, donc la dernière colonne avant la colonne k, jusqu'à celui-ci qui est a1k-1 jusqu'à ak-1k-1. C'est une famille échelonnée. Elle est échelonnée, donc ils sont tous non-nuls les coefficients, parce que le seul nul c'est celui d'après. Donc dans Rk-1, j'ai une famille échelonnée, donc une base de Rk-1. Voilà, cette famille est libre, c'est une base. Donc en gros, mon vecteur juste après, je vais construire le vecteur qui est vraiment le suivant, si vous voulez. Le suivant, ça sera a1k, donc c'est le suivant. Si vous voulez, là je prends un peu un bloc, je vais vous le tracer avec des pointillés. J'ai un bloc comme ça, qui va être intéressant ici, de taille k-1. Le suivant, donc là j'avais akk-0, donc le dernier élément ici, c'est celui-ci. Le vecteur constitué de cette colonne-là, vu qu'on a 0 pour le km, je reste dans le monde de Rk-1. Ce dernier vecteur, a1k jusqu'à ak-1k, va être une combinaison linéaire des éléments de ça. Ce vecteur-là appartient à Rk-1, erreur de ma part. Et donc vu que dans Rk-1, on a déjà une base, forcément cet élément-là va être une combinaison linéaire des éléments d'avant qui forment une base, nécessairement. J'en déduis que le rang de cette famille de k éléments est plus petit que k, et en gros k-1. Donc ici, le rang total de cette famille quand j'ajoute les 0 et j'ajoute les autres éléments, va être inférieur à n. Parce que ici, j'ai une famille de k vecteurs qui ont k-1 élément libre et 1 qui est lié. Donc c'est mort. Ici, le tout ne peut pas être une famille libre. Voilà, je trouve que c'est la manière la plus facile de le voir. La réciproque est très simple, honnêtement. Si j'ai ça, où ils sont tous non-nuls, tous les éléments sont non-nuls en gros, ben j'ai des colonnes qui forment une famille échelonnée. Le rang t, il y a la n, donc voilà, c'est une matrice inversible, très facile. La réciproque est simple. Montrer que toute matrice triangulaire supérieure est semblable à une matrice triangulaire inférieure. Alors là, il y a une manière très facile de le faire, un peu astucieuse entre guillemets, c'est de faire un changement de base entre la base e1, en et la même base, mais regardée dans l'autre sens, en, e1. Donc mat2f dans e1, en, c'est ça, ma base triangulaire, donc j'ai f2, e1, premier vecteur, f2, en, dernier vecteur exprimé dans e1, en. Qu'est-ce que je fais ? J'écris mat2f dans en jusqu'à, oups, petite faute de frappe de ma part, e1. Ça me donne ma f2, en, qui est un élément en qui est ici, parce que j'écris maintenant ça dans la base en, e1. Donc j'ai ce vecteur-là qui est maintenant écrit à l'envers. Pareil pour tous, jusqu'à f2, e1, qui est écrit à l'envers avec des zéros ici, en. Donc je retrouve une matrice, enfin je vois que, comment dire, cette matrice triangulaire est semblable à une matrice triangulaire inférieure. Pourquoi ? Parce qu'elles représentent toutes les deux le même endomorphisme f, mais dans deux bases différentes. Par définition, ils sont semblables. Donc il faut passer par le fait qu'elles représentent le même f. Voilà, j'espère que c'était clair, et je vous dis à la prochaine pour une prochaine vidéo. Sous-titres réalisés para la communauté d'Amara.org

Matrices triangulaires

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