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Probabilités conditionnelles et formule de Bayes

Dans cette vidéo, on aborde un problème de probabilités lié à un QCM de mathématiques. Le contexte est un peu drôle car il s'agit de déterminer la probabilité qu'un étudiant qui a répondu correctement connaissait réellement la réponse.

On pose donc plusieurs événements : C pour "l'étudiant connaît la réponse" et J pour "l'étudiant a eu juste". On utilise ensuite la formule des probabilités conditionnelles pour calculer la probabilité que l'étudiant connaisse la réponse en fonction de la probabilité qu'il ait juste.

Si l'étudiant connaît la réponse (événement C), alors la probabilité d'avoir juste est de P (où P est la probabilité qu'un étudiant connaisse la réponse). Si l'étudiant ne connaît pas la réponse, il a une chance sur M (le nombre de réponses possibles) d'avoir juste.

Pour calculer la probabilité que l'étudiant connaisse la réponse sachant qu'il a eu juste (événement C sachant J), on utilise la formule des probabilités conditionnelles. On obtient alors P de C sachant J = P / (MP / (1 + MP - P(1/M)).

Cet exercice permet de mettre en évidence les liens entre les différentes probabilités et d'utiliser des formules mathématiques pour les calculs.

Un exercice intéressant avec cette fois-ci, un petit contexte un peu marrant, on vous dit on a un QCM enfin marrant, c'est du SRS des maths, mais un QCM avec M réponses sur chaque question, on a la proba qu'un étudiant connaisse la réponse. La proba qu'un étudiant connaisse la réponse c'est P, s'il ne connaît pas la réponse qu'est-ce qu'il fait ? Vous avez été à sa place, vous choisissez une réponse, au pif, on a un correcteur qui récupère une copie, il observe une bonne réponse et on vous demande quelle est la proba que cette bonne réponse observée par le correcteur vienne d'un étudiant qui savait plutôt que d'un étudiant qui ne savait pas et qui a eu de la chance. Donc première étape, poser le problème, toujours. On pose des événements. C, l'étudiant connaît, c'est pour connaître, connaît la réponse. J, l'étudiant a eu juste, rien à voir, très différent, les deux vont être liés bien sûr mais voilà. Alors on fait un arme, je pense que l'arme c'est le plus facile, donc il y a une proba P qui connaisse la réponse, donc on a P qui arrive à l'événement C et ensuite s'il connaît la réponse, quelle est la proba d'avoir juste ? Dans cet exercice, il s'endort, il n'écoute pas, il pourrait avoir des fautes d'attention, non non. S'il connaît la réponse, alors il a juste P de J sachant C, c'est égal à 1, P de J bar sachant C, c'est égal à 0. De l'autre côté, s'il ne sait pas, qu'est-ce qui se passe ? Quand est-ce qu'il peut avoir bon ? Vu qu'il joue sa chance, en gros il y a M réponses, il en prend une au pif, il a une chance sur M de trouver la bonne réponse et donc 1 moins 1 sur M, chance de ne pas la trouver. Moi on me demande quoi ? En gros avec les écritures là, on veut savoir si j'observe une réponse juste, quelle est la proba qu'il connaisse ? P de C sachant J, ça c'est pas très compliqué. P de C sachant J, un exercice de diction, c'est égal à P de C inter J divisé par P de J. P de C inter J, c'est P fois 1, pas de difficulté, donc c'est P sur P de J. P de J, il va falloir le calculer, J peut être atteint ici ou être atteint ici. J'ai une partition de l'univers entre C et C bar, tout ce que je vais faire c'est appliquer la formule des probas total. J'ai P de J qui est égal à P fois 1, cette branche là, plus cette branche ci, 1 moins P fois 1 sur M. Et donc P de C sachant J, c'est P divisé par tout ça, ça donne, en simplifiant un peu la fraction, MP sur 1 plus MP moins P, 1 plus P fois M moins 1. On est bon ? Je pense que le truc ici c'était vraiment de faire un arme et de clarifier la situation. Dites moi si vous avez des questions en commentaire, sinon je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Bye bye.

Questionnaire de Bayes

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