Home

MPSI/PCSI

Maths

Analyse

Équivalence et Suites

Dans cette vidéo, Corentin nous présente un exercice qui nous permet de comprendre le concept de suites équivalentes. Il commence par rappeler la définition des suites équivalentes : UN et VN sont équivalentes lorsque le quotient UN/VN tend vers 1 lorsque UN tend vers l'infini. Ensuite, il nous rappelle comment calculer la limite d'une fraction rationnelle en factorisant par le terme le plus fort. 

Il résout ensuite différentes questions : 
- Dans la question 1, il détermine si N est équivalent à N+1 lorsque N tend vers l'infini. En factorisant par N, il conclut que la limite de cette expression est égale à 1, donc N est bien équivalent à N+1 en plus l'infini.
- Dans la question 2, il détermine si N^2+1 est équivalent à N^2 en plus l'infini. En factorisant par N^2, il conclut que la limite de cette expression est égale à 1, donc N^2+1 est bien équivalent à N^2 en plus l'infini.
- Dans la question 3, il détermine si Ln(N) est équivalent à Ln(10^6N). En utilisant la propriété Ln(AB) = Ln(A) + Ln(B), il factorise par Ln(N) et conclut que la limite de cette expression est égale à 1, donc Ln(N) est bien équivalent à Ln(10^6N) en plus l'infini.
- Dans la question 4, il détermine si Ln(N) est équivalent à Ln(N+10^6). En utilisant la propriété Ln(A+B) = Ln(A) + Ln(B), il conclut que la limite de cette expression ne tend pas vers 1, donc Ln(N) n'est pas équivalent à Ln(N+10^6).
- Dans la question 5, il détermine si exp(N) est équivalent à exp(2N). En utilisant les propriétés des exponentielles, il conclut que la limite de leur quotient ne tend pas vers 1, donc exp(N) n'est pas équivalent à exp(2N).
- Dans la question 6, il détermine si Ln(N) est équivalent à Ln(N+1). En décomposant Ln(N+1) en Ln(N) + Ln(1) + 1/N, il factorise par Ln(N) et conclut que la limite de cette expression est égale à 1, donc Ln(N) est bien équivalent à Ln(N+1).

Corentin nous rappelle l'importance de ces concepts et nous encourage à bien les comprendre pour réussir nos exercices.

Hello tout le monde, c'est Corentin, bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui autour d'un exercice assez simple qui va te permettre vraiment de t'approprier ton cours et de faire tourner un peu les définitions. Alors on commence d'office par un rappel sur ce que sont deux suites équivalentes. On sait que UN et VN sont équivalentes en plus l'infini. Si et seulement si, le quotient UN sur VN tend vers 1 lorsque UN tend vers plus l'infini. Cette définition est vraiment fondamentale que ce soit dans cet exercice ou dans son cours puisqu'on va s'en servir vraiment tout le temps, tout au long de ce chapitre et en particulier dans cet exercice. Ensuite je te propose un petit rappel de terminale qui t'explique comment calculer la limite d'une fraction rationnelle. Quand on est face à une fraction rationnelle de ce type, le réflexe va être de factoriser par le plus fort, c'est-à-dire celui qui tend le plus vite vers plus l'infini. Ici en haut c'est NO3 et en bas c'est aussi NO3 parce qu'il n'y a pas plus fort. N² est moins fort que NO3 en plus l'infini et idem en bas avec N. Très bien, je factorise par NO3 en haut et en bas et qu'est-ce que je peux faire ? Je peux les supprimer puisqu'ils sont présents en haut et en bas. Ensuite je me retrouve avec une fraction rationnelle qui vérifie que ce terme-là tend vers 0, que ce terme-là tend vers 0 et que ce terme-là tend aussi vers 0. On se retrouve avec une limite en plus l'infini qui est égale à 1 tiers. Passons à la question 1 qui nous demande si N est équivalent à N plus 1 en plus l'infini. Très bien, je me sers de la définition, réflexe, je calcule le quotient N divisé par N plus 1. Le plus fort en haut c'est N, il est tout seul, le plus fort en bas c'est aussi N. Je factorise par N en bas, je peux supprimer les deux et j'en déduis que la limite de cette chose-là est égale à la limite de cette chose-là. Puisque 1 sur N tend vers 0 lorsque N tend vers plus l'infini, ça tend vers 1 lorsque N tend vers plus l'infini. Réponse ? Oui, N est bien équivalent à N plus 1 en plus l'infini. Passons à la question 2 qui nous demande de dire si N au carré plus 1 est équivalent à N au carré en plus l'infini. Et là c'est presque la même chose. Le plus fort en haut c'est N au carré, je factorise par lui, le plus fort en bas c'est N au carré, il est tout seul. Je simplifie, j'enlève et je me retrouve avec cette expression-là. Et ça je sais que 1 sur N au carré tend clairement vers 0 lorsque N tend vers plus l'infini et 1 on n'y touche pas. Conclusion ? On a bien N au carré plus 1 divisé par N au carré qui tend vers 1. On en déduit donc que N au carré plus 1 est équivalent à N au carré en plus l'infini. Passons à la question 3 qui nous demande de déterminer si Ln de N est équivalent à Ln de 10 puissance 6 fois N. Je calcule encore une fois mon quotient, je me sers de ma définition, de toute façon on va faire ça tout le long de l'exercice. Petite astuce ou petit rappel qu'il faut avoir en tête c'est que Ln de A fois B est égal à Ln de A plus Ln de B. En bas je sépare et ici vous remarquez qu'on fait la même chose que pour N mais cette fois-ci appliqué au Ln. C'est à dire qu'en haut le plus fort c'est Ln de N, il est tout seul, et en bas le plus fort on a une constante et ici on a Ln de N. On se rappelle que Ln de N tend vers plus l'infini lorsque N tend vers plus l'infini. Je factorise donc par lui, je peux simplifier ces deux-là et je me retrouve avec une expression du type 1 divisé par Ln de 10 puissance 6 divisé par Ln de N plus 1. Ça c'est une constante et ça tend vers plus l'infini, donc ça tend vers 0. On en déduit donc par division, addition de limites, ça vous savez faire depuis la terminale, que tout ça tend vers 1 lorsque N tend vers plus l'infini. Conclusion, on a bien Ln de N qui est équivalent à Ln de 10 puissance 6 fois N lorsque N tend vers plus l'infini. Passons à présent à la question 4 qui nous demande cette fois-ci son homologue puisqu'elle nous demande de déterminer si Ln de N est équivalent à Ln de N plus 10 puissance 6. Là encore une fois, on se sert des expressions qu'on connaît. Ln de A plus B c'est égal à Ln de A fois Ln de B, donc je simplifie. Ici j'ai L en haut et en bas, j'enlève et je me retrouve avec une expression du type 1 divisé par L de 10 puissance moins 6. Mais ça déjà, on remarque que c'est indépendant de N et c'est différent de 1. On en déduit donc que cette suite-là ne tend pas vers 1. Conclusion, exp de N n'est pas équivalent à exp de N plus 10 puissance 6. Passons à présent à la question 5. Exp de N divisé par exp de 2N. Là encore une fois, j'utilise mes formules sur les exponentielles et je trouve que c'est égal à 1 divisé par exp de N. Mais ça, ça tend vers 0 lorsque N tend vers plus l'infini. J'en déduis donc encore une fois que exp de N n'est pas équivalent à exp de 2N puisque la limite de leur quotient ne tend pas vers 1 lorsque N tend vers plus l'infini. On passe à présent à la question 6 qui nous demande de déterminer si Ln de N est équivalent à Ln de N plus 1. Et là, il y a une astuce qu'il va vraiment falloir que vous reteniez dans ce chapitre parce qu'on va s'en servir vraiment souvent. C'est de décomposer le Ln de N plus 1 en Ln de N plus Ln de 1 plus 1 sur N. Ça, c'est vraiment important. Ça revient à factoriser par N dans cette équation-là et puis à séparer le Ln. Et maintenant, on fait encore et toujours la même chose. Le plus fort en haut, c'est Ln de N. Le plus fort en bas, c'est Ln de N puisque ça va tendre vers 0 lorsque N tend vers plus l'infini. Celui qui va exploser vraiment en plus l'infini, c'est Ln de N. Je factorise par lui. Je peux simplifier. Et je sais que ça, puisque ça tend vers plus l'infini et que ça tend vers 0, clairement, cette chose-là va tendre vers 1. On en déduit donc que oui, puisque la limite de tout ça, c'est 1 lorsque N tend vers plus l'infini, que Ln de N est bien équivalent à Ln de N plus 1. Merci à tous.

Equivalents usuels

RELATED

Recommended videos

Equivalents niveau 2

Avec des factorielles