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Équivalence et Suites

Dans ce cours, l'exercice consiste à trouver les équivalents de différentes expressions. Pour cela, on utilise des méthodes de calcul et des propriétés mathématiques. 

La première question demande de trouver un équivalent de l'expression "Un" qui est égal à 1/(n-1) - 1/n + 1. Pour trouver cet équivalent, on passe au même dénominateur et on remarque que n^2 - 1 est équivalent à n^2. Donc Un est équivalent à 2/n^2.

La deuxième question demande de déterminer un équivalent de l'expression "Vn" qui est égale à racine de n + 1 - racine de n - 1. On utilise le développement limité de racine de 1 + x et racine de 1 - x pour trouver que racine de n + 1 est équivalente à racine de n + 1/2*1/√n + petit o(1/√n). En simplifiant, on obtient que Vn est équivalent à 1/√n.

La troisième question concerne l'expression "Wn" qui est complexe. On factorise cette expression et en simplifiant, on obtient que Wn est équivalente à -n/2.

La dernière question demande de trouver un équivalent de l'expression "Zn" qui est égale à sin(2/√(n+1))/√(n+1) + 1/√(n+1). En utilisant le développement limité de sin(2x), on trouve que Zn est équivalente à 1/√(n+1). On utilise ensuite le résultat précédent pour dire que Zn est équivalente à 1/√n.

En résumé, on a trouvé les équivalents suivants :
- Un est équivalent à 2/n^2
- Vn est équivalent à 1/√n
- Wn est équivalent à -n/2
- Zn est équivalent à 1/√n

Alors cet exercice va plus loin que le premier puisqu'il te demande cette fois-ci de trouver toi-même les équivalents. Alors tu vas voir c'est assez technique mais vraiment les techniques de calcul qu'on va aborder dans cet exercice sont assez fondamentales et assez importantes et tu les reverras beaucoup que ce soit aux écrits et aux oraux. Et on commence tout de suite par la première question qui nous demande de trouver un équivalent de Un qui est égal à 1 sur n-1 moins 1 sur n plus 1. Alors moi ce que j'ai envie de faire par réflexe c'est de passer au même dénominateur déjà. Et puis je remarque quoi ? Et bien qu'en haut 2 c'est équivalent à 2 et en bas n²-1, celui qui va exploser en plus infini c'est bien n² donc j'en déduis que n²-1 c'est équivalent à n². C'est vraiment une idée qu'il faut avoir en tête c'est-à-dire quand on cherche un équivalent on cherche le plus fort. Si par exemple je te donne n² plus n, au lieu d'essayer de faire des calculs ou je ne sais quoi, n² plus n tu te demandes qui est-ce qui explose et c'est n² donc j'en déduis que c'est équivalent à n² et c'est réglé. C'est vraiment ce que je fais ici et c'est vraiment l'idée qu'il faut que tu aies. C'est que l'équivalent c'est le leader, c'est celui qui va exploser. Et j'ajoute à ça une propriété qui te dit que si Un est équivalent à xn lorsque n est plus infini et que Vn est équivalent à yn, alors on a le droit de dire que Un sur Vn est équivalent à xn sur yn. Et ça nous aide dans le sens où j'ai trouvé l'équivalent en haut, j'ai trouvé l'équivalent en bas, j'en déduis donc, point final, que Un est équivalent à 2 sur n². On passe maintenant à la question suivante qui nous demande de déterminer un équivalent de Vn avec Vn égale à racine de n plus 1 moins racine de n moins 1. Et là on se pose une question, est-ce qu'on a le droit de sommer des équivalents s'ils sont de même ordre de grandeur et si la somme de ces équivalents n'est pas égale à 0 ? Et on sait, rappel, que racine de 1 plus x est égale à 1 plus 1 demi de x plus petit o de x lorsque x est inverse de 0. On en déduit donc que racine de n plus 1, qui est égale à racine de n fois racine de 1 plus 1 sur n, est égale à racine de n fois, en effectuant le développement limité à l'ordre 1 de racine de 1 plus 1 sur n, est égale à racine de n plus 1 demi de 1 sur racine de n plus petit o de 1 sur racine de n. Et là j'attire ton attention sur deux choses. La première qui est que lorsqu'on a un racine de n plus 1, on ne peut pas en l'état effectuer son développement limité en 0 puisque par essence, ton n ne tend pas vers 0 mais vers plus infini. Dans ce cas, il faut que par un calcul, par une astuce, tu te ramènes à une suite qui tend vers 0. Ici c'est bien le cas puisque en factorisant par n et en le sortant de la racine carrée, on se ramène à une forme qu'on connaît puisqu'on a un 1 plus 1 sur n avec un sur n qui tend bien vers 0. Et là enfin, tu peux appliquer ton développement limité et effectuer tes calculs. Une deuxième chose qui est une technique beaucoup plus rapide qu'on aurait pu avoir et qui se rapproche un peu de ce dont je viens de parler à l'instant, qui est de dire qui est-ce qui explose là-dedans dans racine de n plus 1 ? C'est n qui explose le 1. Ma foi, il ne fait rien en plus infini, ça reste 1. Alors que ton n tend vers plus infini en plus infini. Et moi j'ai tendance, pour me forger une intuition, même si il ne faut pas l'écrire en l'état, c'est toujours mieux de rédiger comme ça, pour vraiment te forger une intuition, il ne faut pas que tu hésites à composer les équivalents. A te dire que n plus 1 est équivalent à n, du coup racine de n plus 1 est équivalent à racine de n. C'est réglé. Et là en l'occurrence, on ne se serait pas trompé, puisqu'on se ramène à dire que racine de n plus 1 est bel et bien équivalent à racine de n en effectuant ces calculs-là, puisque toute cette partie-là va tendre vers 0. Très bien. Et bien par un raisonnement analogue, en utilisant toujours ce développement limité, mais appliqué cette fois-ci à moins x, on trouve que moins racine de n moins 1 est équivalent à moins racine de n. Et là on remarque quoi ? Que si jamais on somme ici, on aurait racine de n plus 1 moins racine de n moins 1 est équivalent à 0, et ça c'est exclu par notre propriété ici. C'est donc qu'il faut trouver autre chose. Et moi ce que je remarque, c'est que ce truc-là, ça me fait penser à une identité remarquable. Une identité remarquable, vous l'aurez deviné, a moins b, a plus b. Et de toute façon, tu te rappelles que quand on fait du calcul avec les racines carrées, on aime bien passer au conjugué, où on aime bien se ramener à des identités remarquables. Donc ce que je fais ici, c'est que je multiplie en haut et en bas par racine de n plus 1 plus racine de n moins 1. En haut, d'après mon identité remarquable, je retrouve 2, je vous laisse faire les calculs. Et en bas, maintenant, je remarque que je peux sommer les équivalents, puisque la somme de cet équivalent plus cet équivalent-là, ça va me donner 2 racine de n. J'en déduis donc par, encore une fois, caution sur les équivalents, puisque là, 2 c'est équivalent à 2, que ma suite Vn est équivalente à 1 sur racine de n. Passons à présent notre troisième suite, qui a, vous l'aurez remarqué, une expression qui n'est pas très friendly. Alors qu'est-ce qu'on fait ? Moi, quand je vois une fraction rationnelle avec du bazar comme ça, des racines carrées, des n, des ln de n, des n carrées, moi je me raccroche à ce que je sais faire depuis la terminale, c'est-à-dire factoriser par le plus fort en haut et factoriser par le plus fort en bas. Qui est-ce qui est le plus fort en haut ? Entre un n au cube et une racine de 1 plus n carrées ? Et bien c'est clairement n au cube. En bas, qui est-ce qui va être le plus fort entre ln de n et moins 2 n au carré ? Et bien c'est clairement moins 2 n au carré. Qu'est-ce que je fais donc ? Je factorise en haut et en bas par le plus fort. Je simplifie, c'est-à-dire que je me retrouve avec un moins n sur 2. Cette expression-là se transforme en cette expression-là. Ici, pareil, je vais essayer de réinjecter dans la racine carrée et ici je vais utiliser ma croissance comparée pour trouver que ce terme-là et ce terme-là tendent vers 0. Et là, miracle, cette fraction-là tend vers 1 lorsque n tend vers plus infini. J'en déduis donc que Wn est équivalente à moins n sur 2. On passe à présent à la question 4, qui est celle qui te demande clairement le plus d'intuition. Et là, ce que je te propose de faire, c'est de commencer par un rappel qui te dit que sin2x sur x tend vers 1, alors que x tend vers 0. En effet, le développement limité à l'ordre 1 de sin2x en 0, c'est égal à x plus petit o2x. Et ça, en remplaçant sin2x par son développement limité ici, je trouve, en effectuant le quotient, que c'est égal à 1 plus petit o2x. Mais ça, c'est exactement dire que sin2x sur x tend vers 1 lorsque x tend vers 0. A partir de là, par composition, puisque cette suite-là tend vers 0, j'ai le droit de dire que sin2x divisé par racine de n plus 1 divisé par 1 sur racine de n plus 1, en gros, j'ai juste remplacé le x par 1 sur racine de n plus 1, qui tend bien vers 0, je le rappelle, lorsque n tend vers plus l'infini, et bien ça, ça tend vers 1 lorsque n tend vers plus l'infini. Mais ça, c'est clairement la définition de l'équivalent appliquée aux suites sinus de 1 divisé par racine de n plus 1 et, à la suite, 1 sur racine de n plus 1. J'en déduis donc que Zn, qui est donc ma suite sinus de 1 divisé par racine de n plus 1, est équivalente à 1 sur racine de n plus 1. Et 1 sur racine de n plus 1, on l'a vu dans la question précédente, c'est équivalent à 1 sur racine de n, puisque racine de n plus 1, c'est équivalent à racine de n. Merci à tous !

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