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Équivalence et Suites

Ce cours montre que la somme de factoriel k pour k allant de 0 à n est équivalente à factoriel n. Pour prouver cela, on décompose la somme et on montre que chaque terme tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini. En utilisant des techniques de majoration, on conclut que la somme totale tend vers 1, ce qui démontre l'équivalence recherchée.

Alors on se retrouve sur un exercice que tu auras très sûrement en colle et qui te demande tout simplement de montrer que la somme pour k allant de 0 à n de factoriel k est équivalente à factoriel n. Alors moi je veux montrer un équivalent, donc en fait réflexe, je veux montrer que la somme pour k allant de 0 à n de factoriel k divisé par factoriel n tend vers 1 lorsque n tend vers plus infini. Ça je le pense comme une suite qui dépend de n. Bon et ben là on s'attaque au calcul. Cette somme là je la décompose comme 1 plus 1 sur n plus cette même somme mais cette fois-ci qui va uniquement jusqu'à n-2. Pourquoi ? Parce que ce 1 là et bien en fait c'est le dernier terme de cette somme là, c'est le nème, et celui-ci le 1 sur n et bien c'est n-1, c'est l'avant-dernier sur n factoriel. Et donc je garde les n-2 autres ici. Et vous allez comprendre pourquoi. Pourquoi ? Parce que pour k compris entre 0 et n-2, je sais que factoriel k divisé par factoriel n qui est égale à cette chose là. Déjà c'est égal à 1 sur n fois n-1 jusqu'à k-1. Pourquoi ? Parce que j'ai enlevé tous ces termes là. Il me reste n et jusqu'à k+. Mais en fait qu'est ce que je suis en train de faire ? Je suis en train de multiplier au dénominateur d'une fraction par des choses supérieures à 1. Je suis en train de l'écraser vers le bas, de la faire tendre vers 0 cette fraction. Donc en fait si je les enlève, j'ai quelque chose de plus grand. C'est exactement ce que je suis en train de dire là en la majorant par n fois n-1. Je garde que les deux derniers là et je me débarrasse de tout cela qui était en train de faire diminuer ma fraction puisqu'ils sont au dénominateur. Et puis je la majore. Et ça qu'est ce que je remarque ? Ça m'arrange bien, c'est indépendant de k. Donc je retourne à ma somme et je remarque que cette somme là, ma somme pour k dans 2,0 jusqu'à n-2, de factorial k divisé par factorial n, je la majore par cette même somme mais cette fois-ci de 1 divisé par n fois n-1. Mais ça c'est indépendant de k donc en fait je suis juste en train de faire 1 divisé par n plus 1 n-2 fois. Donc je multiplie par n-2. Je ne compte plus. Ça c'est indépendant de k donc ça ne bouge pas. Je suis juste en train de le sommer n-2 fois donc ça revient exactement à multiplier par n-2. Or n-2 divisé par n fois n-1, on se souvient du premier exemple qu'on a fait ensemble et qui était de factoriser par le plus fort en haut et par le plus fort en bas et à trouver la limite, et bien ça, ça tend clairement vers 0 si vous faites les calculs. On en déduit donc que la somme pour k dans 2,0 jusqu'à n-2 de factorial k divisé par factorial n tend vers 0 lorsque n tend vers plus l'infini. Mais comme 1 sur n ça tend aussi vers 0 lorsque n tend vers plus l'infini, on en déduit que ma somme toute entière cette fois-ci qui va jusqu'à n et qu'on avait décomposé donc comme ce 1 plus 1 sur n plus ma somme jusqu'à n-2, et bien ça tend vers 1 lorsque n tend vers plus l'infini en saumant les limites. Mais ça c'est exactement la définition d'équivalence. Donc on en conclut que la somme pour k dans 2,0 à n de factorial k est bien équivalente en plus l'infini à factorial n.

Avec des factorielles

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