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Dans ce cours, on apprend à calculer la limite infinie en utilisant la définition avec les epsilon. Le but est de montrer que la fonction tend vers moins l'infini en un réel fixé. Pour cela, on prend un réel négatif m et on cherche à résoudre f2x inférieur à m. On trouve alors un encadrement de x qui permet de déterminer un intervalle où la fonction est inférieure à m. On utilise l'inverse de la fonction pour vérifier que l'on est sur le bon intervalle. Le but est de trouver le y qui convient en déroulant les calculs petit à petit. L'exercice demande de la pratique, mais avec de l'exercice, on peut y arriver.

Maintenant on va faire le calcul de la limite infinie, c'est l'autre définition formelle de la limite, on a regardé en plus l'infini, maintenant on regarde en un réel fixé, avec la définition, avec les epsilon. Donc déjà, il faut bien comprendre comment on utilise les epsilon, c'est pour montrer que la fonction tend vers moins l'infini, c'est un peu le même principe. On se dit, peu importe la limite que je me fixe, une hauteur aussi basse que je veux, il y a forcément un moment, par valeur négative, où je vais être en dessous. Une valeur, quand je serai epsilon proche de 1, je vais finir en dessous. L'idée c'est que j'aurai un intervalle du type 1-epsilon1, où la fonction dans toute cette intervalle sera inférieure à m. Je vous ai fait quelques exemples pour illustrer, avec la fonction 1 sur x-1, imaginons que je fixe m là, mon intervalle epsilon c'est tout cela. Dès que je suis compris dans cet intervalle, entre 1 et 1-epsilon, ma fonction sera en dessous de m1. Si je prends m2 ici, l'intervalle sera plus petit, mais dans cet intervalle, la fonction sera en dessous. Si je prends m3 ici, la fonction sera en dessous, donc j'aurai toujours un intervalle. C'est ça l'idée que l'on va essayer de montrer. La méthode est exactement la même, on part de l'inégalité avec f2x, c'est à dire que j'essaie de résoudre f2x inférieur à m, et du coup j'aboutis une x qui va me faire trouver le epsilon qui convient. Donc c'est parti, je prends un réel m négatif, je vais regarder la limite en 1-, donc je regarde que pour x inférieur à 1, et je vais résoudre. Donc f2x inférieur à m, je remplace, ça fait 1 sur x-1 inférieur à m, n'oublions pas que tout ça est inférieur à 0, comme ça je peux prendre l'inverse, la fonction inverse est décroissante sur l'état de l'électron plus, donc attention quand on prend l'inverse, il faut toujours vérifier qu'on est bien, que tout l'intervalle soit sur r étoile moins, soit sur r étoile plus, mais si je suis entre les deux, si je ne suis pas de part et d'autre de 0, je ne sais pas quoi, je ne peux pas conclure, il faut bien être sur le bon intervalle. Donc du coup ce que je veux c'est encadrer x, donc x doit être supérieur à 1 plus 1 sur m, attention 1 sur m est négatif, on avait dit que m est négatif, donc finalement j'ai bien l'encadrement voulu, de tout à l'heure j'ai x inférieur à 1, et qui est supérieur à 1 plus 1 sur m, donc là mon y est tout trouvé, c'est lui mon y, du coup y niveau moins 1 sur m, parce que attention encore une fois m est négatif, donc voilà, si je prends y égale ça, dans tout l'intervalle 1 moins y, 1, et bien j'ai ma fonction f de x qui est en dessous de m, donc c'est exactement ce que je voulais, donc là je l'ai montré rigoureusement avec le calcul de limites, en revenant avec les définitions et les y, que la limite quand x est envers 1 moins, donc par valeur négative de 1 sur x moins 1, c'est moins l'infini. Donc ça c'est pareil, faut s'exercer un peu, faites les autres exercices équivalents, parce que c'est pas facile, mais finalement quand on s'exerce, petit à petit on y arrive, donc je récapitule, il faut partir de l'inégalité f de x inférieur à m, et je trouve le y qui convient avec 180 sur x, en déroulant petit à petit. Voilà pour cette méthode.

Calcul de limite finie avec la définition (trouver un epsilon)

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