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Théorèmes de Convergence

Les théorèmes de convergence sont utilisés pour analyser des suites mathématiques complexes qui peuvent sembler difficiles à comprendre. Les deux théorèmes principaux sont le théorème de comparaison et le théorème de gendarme, qui ont des applications spécifiques pour montrer que les suites convergent ou divergent. Les suites minorées, majorées et bornées sont également définies, ce qui conduit au théorème de convergence monotone, important pour les mathématiques de niveau avancé. Les méthodes comprennent la gestion de sinus de n, de moins-un puissance n, et les suites homographiques, qui tombent souvent dans les examens.

Bienvenue dans ce dernier sujet du chapitre sur les suites, les théorèmes de convergence. Alors les théorèmes de convergence, ça parle d'un constat, et qu'il y a pas mal de suites qui sont très moches, qui sont moches et qui ont l'air ingérables. Des suites du genre celle-ci, des suites du genre celle-là, des sinusènes, etc. Mais, certaines, notamment ces deux-là, ne sont pas si inaccessibles. C'est-à-dire que si on regarde un peu de plus près, quand on voit la fraction là, les deux fractions en l'occurrence, quand on regarde au-dessus de la barre de fraction ce qu'il se passe, on a du moins-impuissance n, on a du sinusène. En effet c'est moche, ça doit faire des trucs un peu dégueux, partir dans tous les sens. C'est vrai. Mais ça reste des nombres très petits. C'est-à-dire que c'est petit, ça va bouger dans tous les sens, ça reste petit. Et c'est divisé. En dessous de la fraction donc, c'est divisé par des trucs très très gros. Qui plus n devient gros, bah plus il devient gros quoi, la racine de n ou n lui-même. Et donc on a un objet qui est quand même genre petit truc laid, petit truc qui fait buzz dans tous les sens, petit truc moche, divisé par un truc énorme. On sent que ça va tendre vers 0. On peut avoir l'intuition de ce qui se passe. Je vais vous montrer un graphique pour illustrer. Ici je vous ai tracé la fonction sin x sur x. Puis j'ai collé dessus les différents points qui correspondent à la suite sin n sur n. Donc en effet ça bouge dans tous les sens, ça oscille, ça fait des trucs un peu comme ça. Mais si on regarde bien, le truc principal qui se passe, c'est que ça s'écrase. En fait ça s'approche de plus en plus de 0, même si c'est de manière oscillante. Mais on sent que ça va s'écraser. Donc on peut avoir l'intuition du résultat, même si la suite est ce que j'appelle moche. Et donc mathématiquement comment on fait? Nous on sort d'un sujet qui était un petit peu abscons, les définitions de limites. Et en fait on avait pas mal de définitions assez moches, où il fallait utiliser des epsilon, des grands A et des trucs comme ça. En gros des trucs que vous n'aimez pas. C'est là la grande force de ce sujet là, les théorèmes de convergence. C'est qu'en fait on va pouvoir avoir accès à des théorèmes qui sont beaucoup plus accessibles, et qui sont beaucoup plus lisibles, beaucoup plus clairs. Et ils vont nous permettre en fait de... Alors force principale, ça va être qu'on va pouvoir analyser des objets très moches, un peu bizarres, qui bougent dans tous les sens, du genre les suites comme ça. Mais en utilisant, des suites beaucoup plus simples, donc proches des objets qu'on veut utiliser, mais beaucoup plus simples, beaucoup plus classiques. On va pouvoir faire des comparaisons, et ces comparaisons vont nous aider à conclure sur des suites même très... intuitivement pas accessibles et qui ont l'air un peu compliquées. Un petit résumé de ce sujet, il y aura quelques points de cours. Principalement la connaissance des théorèmes. Donc vous aurez deux théorèmes qui vont vous aider à trouver des résultats sur les limites de suite, en les comparant à d'autres suites. Donc 1, le théorème de comparaison. 2, le théorème de gendarme. Ces deux-là, en gros, pour retenir l'idée que le théorème de comparaison, c'est pour démontrer que quelque chose tend vers plus l'infini. Le théorème de gendarme, c'est pour montrer qu'une suite tend vers une limite finie. Ensuite on verra quelques définitions. Suites minorées, majorées, bornées, ce sera assez simple. Et ces définitions pourront nous conduire enfin à un théorème vraiment capital de l'année terminale, qui est le théorème de convergence monotone. Alors en termes de méthodes, toujours on pourra les compléter au fur et à mesure, mais voilà trois méthodes qui me semblent vraiment importantes. C'est-à-dire savoir repérer et gérer un sinus de n, savoir repérer et gérer un moins-un puissance n, donc ces trucs moches qui font peur, savoir les attaquer, savoir se débarrasser de la peur qui nous inspire. Et enfin un cas très pratique, qui s'appelle le cas des suites homographiques. Donc en fait c'est le cas des suites qui s'écrivent, si vous voulez, 3n plus 1 sur n plus 4, donc un degré 1 divisé par un degré 1. Ce cas-là en fait c'est un cas que je voulais mettre dans ce sujet-là, parce qu'il tombe très souvent, il y a plein d'exos qui sont basés sur ce type de suite, ou ce type de fonction, genre x plus 1 sur x plus 2. Il y a des manières de tripatouiller un petit peu ces expressions qui peuvent vraiment vous faire gagner beaucoup de temps, quelques minutes, et je pensais que c'était important de remettre un peu une couche là-dessus ici. Voilà, donc n'hésitez pas si vous avez des points de précision, si vous avez des questions à venir en discuter avec nous dans la FAQ. Sinon je vous retrouve pour la prochaine vidéo qui est une vidéo sur le terrain de comparaison. À toute!

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