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Théorèmes de Convergence

Dans cette vidéo, nous allons étudier deux exemples de suites en utilisant les théorèmes de convergence. Le premier exemple concerne la suite u_n = n + 2 * sin(n). Nous devons montrer que pour tout entier n, u_n est supérieur à n - 2.

Pour encadrer la fonction sinus, nous savons que le sinus est toujours compris entre -1 et 1. En multipliant par 2, nous obtenons une valeur positive. En ajoutant n, nous obtenons finalement que u_n est supérieur à n - 2. Bien que cette partie de l'inéquation ne soit pas importante, elle est vraie.

Ce qui nous intéresse vraiment est le fait que u_n est supérieur à n - 2. Comme n - 2 tend vers plus l'infini, et que u_n est plus grand qu'une suite telle que n - 2, nous pouvons conclure que u_n tend vers l'infini.

Le deuxième exemple concerne la suite v_n = -n^2 + (-1)^n. Encore une fois, nous devons encadrer la puissance (-1)^n, qui est toujours entre -1 et 1.

Le terme (-1)^n n'aura pas beaucoup d'importance, car il va alterner entre -1 et 1. Le terme dominant est n^2, qui tend vers moins l'infini. En encadrant la suite, nous obtenons que v_n est inférieur à une suite qui tend vers moins l'infini.

En factorisant le terme dominant, nous obtenons v_n = n^2 * (-(1/n) + 1/n^2). La partie à droite tend vers 1, et la partie à gauche tend vers moins 1. Donc v_n tend vers moins l'infini.

En utilisant l'encadrement, nous avons montré que les deux suites étudiées tendent toutes les deux vers l'infini et moins l'infini, respectivement.

Désormais on va faire une petite application des théorèmes de convergences pour les fonctions sinus et moins 1 plus sin, en fait on est dans le même cas. On va étudier la suite un égale n plus 2 fois sin n. L'exercice est guidé, on nous demande de montrer que pour toute n, un supérieur à n-2. Là j'ai pas le choix, à chaque fois que je vois du sinus, je vais l'encadrer. Donc le sinus n'a pas de limite, je vais pas pouvoir trouver la limite, il faut que je l'encadre. Donc le sinus n, comme tout sinus, il est compris entre moins 1 et ensuite je construis ma suite un à partir de là. Je vais multiplier par 2, c'est positif. Ensuite je rajoute plus n et donc je me retrouve avec un qui est supérieur à n-2. Cette partie-là de l'inéquation ne m'intéresse pas en fait mais elle est vraie. En fait un est compris entre n-2 et n plus 2. Moi ce qui m'intéresse c'est cette partie ici. Un est supérieur à n-2 et en fait n-2 tend vers plus infini par limite usuelle et un est plus grande qu'une suite qui tend vers l'infini. Donc par comparaison j'ai bien un qui tend vers l'infini. Deuxième exemple maintenant, on a Vn qui vaut moins n carré moins n plus moins 1 puissance n. Là c'est pareil, dès qu'on voit un moins 1 puissance n, on se dit bon bah je vais devoir encadrer parce que ça n'a pas de limite, c'est aussi entre moins 1 et 1. Là on voit tout de suite, c'est toujours bien de comprendre ce qui se passe dans la suite. Le moins 1 puissance n va jouer un rôle mineur parce que ça va faire moins 1 plus 1 moins 1 plus 1, alors que là j'ai quelque chose qui tend vers moins infini à cause du moyen carré et le moyen d'ailleurs aussi. Mais on sait que celui qui est dominant c'est le moyen carré. Donc ce moins 1 puissance n ne va pas du tout me gêner mais quand même je dois faire la démonstration proprement donc je vais faire par encadrement. Le moins 1 puissance n je dis que c'est entre moins 1 et 1, il me manque un moins. Et donc là je rajoute moins n carré moins n, une simple addition. Finalement j'ai encadré ma suite et je me retrouve avec Vn qui est inférieur à cette suite là, qui tend vers moins l'infini. Je le remonte proprement, je factorise par le terme de plus haut degré, ça fait n carré facteur de moins 1, moins 1 sur n, plus 1 sur n carré. La partie à droite tend vers 1, là ça tend vers moins 1 évidemment, le moins est important ici parce que ça va faire moins 1 plus l'infini. Donc moins n carré moins n plus 1 tend vers moins l'infini. Et donc comme ma suite Vn est plus petite qu'une suite qui tend vers moins l'infini, par comparaison j'ai Vn qui tend vers moins l'infini. Donc voilà deux exemples comment utiliser l'encadrement pour une suite qui fait intervenir sinus ou moins 1 puissance n.

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