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La démonstration par récurrence est une méthode importante à maîtriser en mathématiques. Pour prouver l'hérédité de la suite, qui est la partie la plus compliquée de cette démonstration, voici quelques astuces. Pour démontrer que la suite est strictement décroissante, on définit la propriété P2n, qui est vraie pour tout n. Pour l'initialisation, on commence par u0 et pour l'hérédité, on écrit l'hypothèse de récurrence et ce qu'on veut montrer, en veillant à être explicite. Pour montrer que un+2 est plus petit que un+1, on utilise l'hypothèse de récurrence en la composant avec une fonction affine f, qui est strictement croissante. Enfin, on montre l'hérédité rigoureusement. Il est important de ne pas confondre la valeur de la suite au rang n avec l'objet suite elle-même, en utilisant des parenthèses pour éviter toute ambiguïté.

La démonstration par récurrence, c'est quelque chose qu'il faut savoir maîtriser sur le bout des doigts, au moins sur la rédaction, sinon c'est des points bêtement perdus. Ici je vais vous donner quelques petites astuces pour essayer d'avoir le maximum d'outils pour prouver l'hérédité, qui est évidemment la partie la plus compliquée de cette démonstration par récurrence. On va prendre un exemple, ici on a une suite qui est définie par u0 égale 2 et un plus 1 égale 2 un plus moins 6. Ce qu'on nous demande c'est de montrer par récurrence que la suite est strictement décroissante. Dans la démonstration par récurrence, premier point, on définit P2n, la propriété qui est vraie ou ranc n. Pour montrer qu'elle est décroissante strictement, je sais que ce que je vais devoir montrer c'est que un plus 1 est plus petit que un. Ce que je dis c'est que je veux montrer que P2n est vraie pour toute n anti-naturelle. Attention, on ne met pas le pour toute n dans la propriété de récurrence, dans P2n. Pourquoi? Parce que P2n c'est la propriété qui est vraie au ranc n seulement. Si dedans on met pour toute n, ça n'a plus de sens. C'est une propriété qui est au ranc n et on veut montrer que c'est vrai pour tout ranc. Petite erreur des fois qu'on peut voir. On commence par l'initialisation, ça souvent c'est très facile. Faites attention quand même à ne pas se tromper, ici on veut montrer que c'est pour toute n anti-naturelle. On peut commencer à u0 et pour n égale 0, on va calculer u1 et u0. Mais faites attention, des fois la propriété n'est vraie qu'à partir du ranc 1. Il faut quand même faire attention, même si ce n'est pas très compliqué, de ne pas se tromper sur le premier ranc. Ici je fais calcul, ça fait u1 égale moins 2, à comparer avec u0 égale 2, c'est bon. L'initialisation est bonne. Ensuite pour l'hérédité. Moi ce que je vous invite à faire très fortement, c'est d'écrire vraiment l'avoir sous les yeux. Parce que ça aide ce qu'on suppose, c'est à dire que l'hypothèse de récurrence, ma propriété est vraie au ranc n. Et ce qu'on veut montrer, que pn plus 1 est vrai. Et l'explicité, c'est hyper important, parce que quand on le voit sous les yeux, c'est beaucoup plus facile à montrer. L'exemple n'est pas très compliqué, mais je vous montre comment il faut faire pour que ce soit plus simple pour les hérédités compliquées. Je montre ce que je sais, c'est à dire ce que j'ai supposé, c'est que un plus 1 est plus petit que un. Et ce que je veux montrer, c'est que un plus 2 est plus petit que un plus 1. Forcément, vu que c'est une démonstration par récurrence, c'est de l'un en un lien. Il faut que grâce à l'hypothèse de récurrence, je montre celui-là. Si je ne me sers pas de l'hypothèse de récurrence, c'est que je n'avais pas besoin de montrer le résultat par récurrence. Parce que c'est ça la puissance de la démonstration par récurrence, c'est que je me sers d'une hypothèse au ranc inférieur. Donc là, évidemment, je pars de là, j'ai un plus 1 inférieur à un, et je vois qu'à partir de ça, il faut que j'aboutisse à un plus 2. Evidemment, un plus 2, comment je le construis? C'est avec l'hypothèse de récurrence. La relation de récurrence, pardon. Un plus 2, ça fait 2 un plus 1 moins 6. Alors là, c'est là où j'ai l'idée de poser la fonction f qui a x associé à 2x moins 6. Moi ce que j'aimerais savoir, c'est le sens de variation de cette fonction. F, c'est une fonction affine, qui est de coefficient directeur qui est positive, donc elle est strictement croissante. Et donc, les relations sur les antécédents vont, par cette fonction, une relation d'infériorité va toujours être vraie si je compose par f. Moi ce que je sais, c'est que un plus 1 est plus petit que un. Je compose par f, et comme un plus 2 est égal à f de un plus 1, et un plus 1 est égal à f de un, avec le f que j'ai posé, je peux composer par f, qui est strictement croissante, et donc je me retrouve avec un plus 2 qui est plus petit qu'un plus 1. Il y a un plus 1 qui manque ici. Donc là j'ai démontré l'hérédité rigoureusement, donc d'après le principe de récurrence, j'ai bien montré que pour toute n, anti-naturel, un plus 1 supérieur à un, c'est à dire ma suite est strictement décroissante. C'est toujours bien, petit point de rigueur, un avec des parenthèses, c'est bien l'objet suite. Donc on peut dire que cet objet est strictement décroissant, alors que si, des fois on le voit, mais ce n'est pas idéal, si on enlève les parenthèses, il y a un peu confusion, est-ce que un c'est la valeur de la suite au rang n, dans ce cas là c'est un réel, ou est-ce que c'est l'objet suite. Et évidemment on ne peut pas dire qu'un réel est décroissant. Donc pour les fonctions, c'est quelque chose où il n'y a pas d'ambiguïté, il ne faut surtout pas dire que f de x est strictement décroissante, ça non. F de x c'est un réel, c'est f qui est strictement décroissante. Pour un, c'est pareil, un tout court comme ça, c'est le réel, et un c'est l'objet suite. Donc à chaque fois que vous parlez de la suite, c'est mieux de mettre des parenthèses. Voilà pour cette méthode sur la démonstration par équivalence.

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