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Récurrence

Dans ce cours, on utilise la démonstration par récurrence pour calculer la somme des entiers de 1 à n, qui est égale à n*(n+1)/2. Il est important de connaître le résultat que l'on veut démontrer avant d'utiliser cette méthode. On pose la proposition P2n selon laquelle la somme des entiers naturels jusqu'à n est égale à n*(n+1)/2. On vérifie ensuite la propriété pour n=1, puis on utilise l'hypothèse de récurrence pour montrer que P2n+1 est aussi vrai. En factorisant par n+1, on démontre que pour tout n antinaturel non nul, la somme des entiers de 1 à n est égale à n*(n+1)/2.

Alors on va voir maintenant comment on peut utiliser encore une fois la démonstration par récurrence en calculant la somme des entiers de 1 à n. Donc ça c'est une formule franchement qu'il faut connaître par coeur et la somme des entiers naturels c'est n de 1 à n, en tout cas c'est nn plus 1 sur 2. Là on met le doigt sur un point important, c'est que pour la démonstration par récurrence il faut connaître le résultat qu'on veut démontrer. Donc si vous n'avez pas d'idée combien ça vaut la somme des entiers naturels, vous ne pouvez pas aller plus loin. En fait j'ai besoin de savoir le résultat que je vais démontrer. Donc ça c'est vraiment une faiblesse importante de cette démonstration. Donc si vous n'avez aucune idée on ne va pas pouvoir aller plus loin. Mais là ce que suppose les noncés c'est que c'est une formule que vous devez connaître et donc on va la redémontrer ici. Dans mon hypothèse j'ai ça et donc vous voyez c'est là où j'en ai besoin. Donc je pose P2n qui est la proposition suivante c'est que 1 plus 2 plus 3 jusqu'à plus n ça vaut nn plus 1 sur 2. Comme la dernière fois on ne met pas de pour tout n dans la propriété, ensuite on dit que P2n est vrai pour tout n appartenant à n étoiles. Donc là on peut faire attention ici la propriété n'est pas définie pour n égal à 0. Donc faisons attention à ça régulièrement parce que des fois les élèves ils mettent pour tout n appartenant à n sans trop se poser de questions. Là tel que je l'ai écrit la propriété n'a pas de sens sans 0. Donc je vais commencer à n égal à 1. Donc première partie initialisation. Je regarde le terme à gauche ça fait juste 1 et j'applique la formule 1 fois 1 plus 1 sur 2 ça fait 1 aussi donc pas de problème. L'hérédité ensuite. Alors comme je l'ai dit la dernière fois je suppose, j'écris ce que je suppose et j'écris ce que je veux montrer. Mon hypothèse de récurrence c'est je suppose que P2n est vrai à un rang n quelconque fixé. Donc j'ai la somme des entiers naturels jusqu'à n qui vaut nn plus 1 sur 2 et sous cette hypothèse je vais montrer que P2n plus 1 est vrai et j'explicite ce que ça veut dire. C'est à dire que 1 plus 2 plus n plus n plus 1 ça vaut n plus 1 fois n plus 2 sur 2. Alors là aussi c'est pas très compliqué mais comment on écrit la propriété au rang n plus 1? C'est très très simple vous prenez l'expression au rang n et à chaque fois que vous voyez un n vous le remplacez par n plus 1. Donc le n ici devient du n plus 1. Le n plus 1 ici ça devient n plus 1 plus 1 donc c'est fait n plus 2. Je dis ça parce que parfois alors c'est pas le cas ici mais on a un truc du type 2n. Donc 2n si c'était au rang n, au rang n plus 1 ça sera 2n plus 2 et pas 2n plus 1 parce que je remplace le n par n plus 1 et voilà ça fait ça et quand je développe ça fait bien 2n plus 2. On applique ça bêtement et ça marche sans problème. Donc je veux partir de l'hypothèse de récurrence donc là quand même ça et ça ça ressemble quand même beaucoup. La seule différence c'est qu'il y a un n plus 1 ici en plus. Alors très bien donc en fait qu'est ce que je dis? J'ai dit que cette somme là c'est la somme des antinaturels dont j'ai fait une hypothèse de récurrence sur lesquels j'ai fait une hypothèse de récurrence plus n plus 1. Donc ça fait la somme, je prends l'habitude aussi d'écrire plutôt avec des sigma parce que ça c'est pas très rigoureux pour ceux qui vont continuer l'année prochaine vous écrirez principalement tout le temps avec des sigma. Donc c'est la somme de k égal 1 à n des k plus le dernier terme n plus 1. Ça d'après l'hypothèse de récurrence je sais que ça vaut n n plus 1 sur 2 ma somme des antinaturels et donc j'applique cette hypothèse ça fait n n plus 1 sur 2 plus n plus 1. Voilà donc là j'ai plus de trois petits points je suis content maintenant je suis en droit d'espérer que cette quantité là soit égale je vais montrer que ça soit égal à ça. Un n plus 1 sur 2 et c'est là où c'est bien de voir ce qu'on veut montrer parce que là encore c'est pas très très compliqué mais des fois s'il y a beaucoup de choses à factoriser etc je suis content de savoir ce vers quoi je veux aboutir. Donc là je vois que il y a du n plus 1 ici donc j'ai très envie de factoriser par n plus 1 là et là au lieu de tout développer bêtement en fait typiquement là je suis content d'avoir mon expression à disposition donc je factorise par n plus 1 et ça fait n plus 1 facteur de le n sur 2 qui est ici et le 1 à cause du n plus 1 qui est là. Voilà et donc là je mets tout le même dénominateur et ça fait bien n plus 1 fois n plus 2 sur 2 donc c'est bon l'hérédité est bien démontrée. Donc d'après le principe de récurrence j'ai bien pour toute n antinaturel non nulle la somme des entiers de 1 à n qui est égale à n n plus 1 sur 2. Voilà pour cet nouvel exemple sur les démonstrations par récurrence.

Conjecture puis récurrence

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