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Récurrence

Dans ce cours de mathématiques, on nous montre comment utiliser la méthode de récurrence pour démontrer l'hérédité. Pour cela, on utilise deux cas possibles : soit on part de l'hypothèse de récurrence, soit on part de la propriété au rang Un+1. Ces deux méthodes sont possibles et il n'y a pas de méthode meilleure, tout dépend de l'exercice. Il est également important de faire le lien entre l'hypothèse de récurrence et ce que l'on veut démontrer. En utilisant un exemple simple, on montre que la méthode de récurrence permet de prouver que pour tout n, Un est strictement positif.

Dans la démonstration par récurrence, il y a un point qui est le plus compliqué, c'est de montrer l'hérédité. On va vraiment se focaliser sur l'hérédité, comment on la démontre. Il y a deux cas de figure. Comme je vous l'ai toujours dit, on écrit bien l'hypothèse de récurrence qu'on sait, et on écrit bien ce qu'on veut montrer, mais après il faut faire le lien entre ces deux choses-là. Il y a deux méthodes, soit je pars de l'hypothèse de récurrence, et j'aboutis à Pn+, ou alors je pars de Pn+, et je me sers de Pn pour conclure. Là on va faire sur un exemple pas très compliqué pour que vous voyez bien la différence, et de voir que les deux méthodes sont possibles. On a U0 qui vaut 5, U1, une suite définie par récurrence, qui vaut 3Un6, et on veut montrer que Un est strictement positif pour toute n. Je pose P2n, c'est Un strictement supérieur à 0. Je vais montrer que P2n est vrai pour toute n. Initialisation, ça ne pose aucun problème, U0 vaut 5. Maintenant l'hérédité. Je commence par écrire ce que j'ai dit, je suppose que P2n est vrai, donc j'écris Un strictement supérieur à 0, et sous cette hypothèse je vais montrer que Pn plus 1 est vrai, c'est-à-dire Un plus 1 strictement supérieur à 0. Je vais vraiment vous montrer les deux cas possibles, même si dans cette démonstration en particulier ça ne change pas grand-chose. Soit je pars de l'hypothèse de récurrence, donc là je dis Un supérieur à 0, et je construis Un plus 1 à partir de ça, ça veut dire que je multiplie par 3, 3Un supérieur à 0, donc 3Un plus 6 c'est supérieur à 6 qui est lui-même supérieur à 0, et donc c'est bon, là j'ai construit Un plus 1 qui est supérieur à 0. Je suis parti de l'hypothèse Pn, et j'aboutis à Pn plus 1. Sinon possibilité numéro 2, c'est que je pars de Pn plus 1, c'est-à-dire je pars de Un plus 1, et je dis Un plus 1 c'est égal à 3Un plus 6, et comme Un est supérieur à 0, tout ça est supérieur à 0, c'est bon. Donc d'après le principe de récurrence j'ai bien Un qui est strictement supérieur à 0. Vous voyez il y a une petite différence, même si comme le résultat n'est pas très compliqué, on a l'impression que c'est un peu la même chose, mais c'est pas pareil en fait. Là vraiment je suis parti de Un et j'ai construit Un plus 1, là je suis parti directement de Un plus 1 et j'ai dit bon bah, comment se servir à partir de ça, comment je peux me servir de l'hypothèse de récurrence? Je l'ai injecté directement à l'intérieur de Un plus 1. J'ai dit ah bah c'est strictement supérieur à 0, donc c'est bon. Donc ces deux méthodes là sont possibles. Laquelle est la mieux? En fait ça dépend de l'exercice, mais bon sachez que si vous êtes en difficulté et que vous n'arrivez pas avec une méthode, vous pouvez plutôt essayer avec l'autre, peut-être que ce sera plus efficace. Voilà pour l'érignité, comment on peut partir soit de l'hypothèse de récurrence, soit de la propriété au rang Un plus 1. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à aller dans la FAQ pour ça. Voilà, voilà.

Hérédité : comment démarrer ?

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