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Dans ce cours de mathématiques, on utilise la méthode des rectangles pour encadrer l'aire sous une courbe dont l'intégrale n'a pas une forme géométrique simple. La fonction à intégrer est croissante et on encadre son aire en utilisant les airs de petits et grands rectangles. L'encadrement obtenu ne sera pas très précis, mais en diminuant la largeur des rectangles, on peut augmenter la précision de l'encadrement. En fin de compte, on encadre l'intégrale de la fonction de 0 à 4 à l'aide de deux bornes. En résumé, la méthode d'encadrement est une méthode utile pour trouver une valeur approximative de l'intégrale d'une fonction lorsque l'on ne peut pas trouver sa primitive.

Donc là, on va faire un calcul d'air purement géométrique, sauf que la courbe intégrée n'a pas une forme géométrique simple. Je ne vais pas pouvoir calculer l'air moi-même géométriquement, par contre je vais pouvoir l'encadrer par la méthode d'I des rectangles. Ici ma courbe en rouge est là, je veux l'air sous la courbe, là-dessus, et je vais dire qu'elle est plus grande que l'air des petits rectangles. C'est ce qui se trouve en dessous, celui-là, plus celui-là, plus celui-là. Et cette air va être plus petite que l'air des grands rectangles, c'est-à-dire ceci. Le deuxième, c'est ce qui se trouve au-dessus, plus celui-là. D'ailleurs, je ferai une petite remarque à la fin, où je vous montrerai que si on diminue la largeur des rectangles, on va affiner de plus en plus notre encadrement, et si notre largeur tend vers zéro, on va voir les deux airs, celle du dessus et celle du dessous, coller de plus en plus et tendre vers l'air qu'on cherche, c'est-à-dire l'intégrale. Et donc ça, c'est ce qu'on appelle les intégrales de Riemann, et ceux qui continueront les maths l'année prochaine l'étudieront formellement. Donc là, ce qu'on cherche à encadrer, c'est l'air sous la courbe de 0 à 4. Là, on voit que notre fonction est croissante, la fonction f, ici. Je vais l'encadrer, je vais dire que l'air sous la courbe, qui est donc mon intégrale, est plus petite que A'0, A'1, A'2, A'3. Attention, dans A'1, il y a bien tout le rectangle, ce n'est pas que la partie au-dessus. Ça, ça se voit visuellement, et c'est plus grand que les airs A'1, A'2, A'3, qui sont les petits rectangles. Donc ça va être ça notre encadrement. Les airs rectangles, c'est assez simple à calculer, je vous le fais en détail pour les premiers. A'1, c'est largeur fois hauteur, donc la largeur à chaque fois de tous ces rectangles, c'est 1. Et la hauteur, il faut regarder, ça va être f2, parce que le point ici, il est sur la courbe, et je vois que c'est le point de coordonnée 1,1. Sachant que la courbe, on la connaît, c'est racine de x, donc on peut faire le calcul. A'1, ça fait 1 fois 1, ça fait 1, qui d'ailleurs, y a la prime 0, on voit qu'ils sont jumeaux, ce rectangle là et ce rectangle là. A2, ça fait 1 fois f2, parce que f2, il est ici. Et donc f2, ça fait racine de 2, donc ça fait 1 fois racine de 2, racine de 2. Et idem, c'est pareil que A'1, en fait on voit qu'à chaque fois, ils sont jumeaux. Lui, ce rectangle là, et A2, ce sont les mêmes. Donc, etc, etc, donc je trouve A3 qui vaut A'2, et A'3 qui vaut racine de 4, donc ça fait 2. Donc ça me permet d'encadrer cette intégrale. Donc 1 plus A2 plus A3, ça fait 1 plus racine de 2 plus racine de 3. Et là, je me retrouve avec A'0 plus A'1 plus A'2 plus A'3, qui vaut 1 plus racine de 2 plus racine de 3, plus 2. Donc 1 plus 2, je les mets ensemble, ça fait 3 plus racine de 2 plus racine de 3. Donc voilà un encadrement, on voit qu'il n'est pas très très fin, parce qu'entre là et là, j'ai quand même 2 de différence, donc j'ai encadré avec un max et un min qui sont à 2 de distance, 2 d'écart, donc c'est quand même beaucoup. Mais ça me donne un encadrement. Donc l'idée qu'on peut avoir, et c'est là où c'est la comparaison série intégrale, on peut augmenter cette précision en se disant, bon très bien, moi, ce que je vais faire, je vais augmenter la précision, et au lieu de prendre la courbe avec des rectangles de largeur 1, je vais prendre des rectangles de largeur 1,5. Et là, visuellement, je ne vais pas vous faire la démonstration, parce que ça c'est le programme de l'année prochaine, mais on voit visuellement que c'est beaucoup plus proche de la courbe rouge, parce qu'en fait mes rectangles, ils touchent, ils sont plus proches, et donc je colle beaucoup plus à la courbe, donc là mon encadrement sera plus fin. Il sera beaucoup plus fin, et donc ça, j'ai fait des rectangles de largeur 1,5, je pourrais très bien faire des rectangles de largeur 1,25, 1,8, etc. Si on fait tendre la largeur vers 0, on va avoir les aires des rectangles qui vont coller à la courbe. Et d'ailleurs, accessoirement, quand vous demandez à votre calculatrice de faire un calcul d'air, si elle ne le fait pas formellement, c'est exactement ce qu'elle va faire, elle va prendre les pixels un par un, et donc elle balaye comme ça la courbe, et c'est exactement ce qu'elle fait, elle va approximer par des petits carrés d'air minuscules, et donc elle fait une sorte de méthode d'air des rectangles. Donc voilà. Voilà pour cette méthode d'encadrement. Donc ça, c'est une des façons, si on n'a pas les moyens de trouver une primitive de la fonction, de pouvoir encadrer l'intégral. Donc si vous avez des questions, comme d'habitude, n'hésitez pas à aller voir sur la FAQ.

Méthode des Rectangles

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