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Dans cette vidéo, nous abordons les propriétés de l'intégrale. La première est la linearité, qui mentionne que si vous prenez l'air sous une courbe, cela équivaut à multiplier la hauteur par un certain facteur. La deuxième propriété est la cumulativité, qui signifie que l'air sous une courbe combinée est la somme de l'air sous les courbes individuelles. La troisième propriété concerne les bornes, où l'air sous une courbe entre un point et lui-même est nul, et l'air entre deux points peut être pris avec un signe négatif si les points sont inversés. Enfin, la relation de Schall stipule que l'air total sous une courbe est la somme des airs entre les points où la courbe rencontre l'axe horizontal. Ces propriétés sont intuitives et faciles à comprendre pour les débutants en mathématiques.

Dans cette vidéo j'ai envie de couvrir avec vous une première partie sur les propriétés, des propriétés assez simples et intuitives en soi. Alors première propriété, la linearité, là je vous l'écris dans sa définition puisqu'il faut la connaître mais il n'y a rien de foufou à raconter. Si vous prenez l'air sous la courbe lambda f, c'est égal à lambda fois l'air sous la courbe f. C'est à dire que si vous prenez une courbe, si vous prenez l'air sous la courbe par exemple, je sais pas moi, x, et qu'ensuite vous prenez l'air sous la courbe 2x, vu que ça monte deux fois plus vite, il se trouve que vous aurez deux fois plus d'air. C'est ça que ça dit si vous voulez. Donc la deuxième propriété c'est que si vous cumulez, si vous faites l'air d'une fonction f plus g, si vous cumulez les deux fonctions, vous prenez l'air de la fonction totale f plus g qui sera donc deux fois plus haute, imaginons que les deux sont positives, et bien dans ce cas vous aurez l'air de f plus g, donc l'air total, ce qui sera égal à d'un côté l'air de f plus l'air de g. Ça c'est la linearité, c'est assez intuitif, pas grand chose à raconter dessus. Sur les bornes, donc très important, ça je l'ai déjà utilisé dans pas mal de vidéos précédentes, si f est une fonction continue, c'est un intervalle i avec a, b, c des réels, l'intégrale entre a et a de f égale 0. Ça c'est parce que vous êtes en train de prendre l'air sous la courbe de la fonction f, entre un point a et lui-même. Donc vous prenez l'air en fait d'un espèce de fil qui n'a pas de deuxième dimension. C'est pour ça que c'est nul. Petit b, c'est plus une convention, si on prend l'intégrale entre b et a, donc par exemple disons l'intégrale entre 3 et 2, on va définir que ça sera égal à moins l'intégrale entre 2 et 3. Donc si vous parcourez la fonction, d'habitude vous avez une intégrale sur le long de l'axe x, entre 2 et 3 par exemple, si vous décidez de parcourir entre 3 et 2, vous allez dire que c'est la même chose que 2 et 3 mais en opposé, vous mettez un signe moins. Enfin la relation de Schall, celle-là elle est assez intuitive encore une fois. Si vous avez intégrale entre a et c, à laquelle vous ajoutez l'intégrale entre c et b, on peut dire que c est égal à l'intégrale entre a et b directement. Donc j'ai illustré un peu ici, je vais vous montrer sur le graphe en plus gros. Ça dit juste que l'intégrale totale de toute ma fonction ici, c est égal à l'intégrale mauve, enfin violette, plus l'intégrale verte, quelle que soit le point c. Je peux vous montrer vite fait sur un graphique plus gros, mais c'est ça que je voulais dire en gros. Voilà, donc là je vous ai fait un petit graphique, et l'idée de la relation de Schall c'est assez simple, c'est de dire, si vous avez l'aire entre par exemple ici, je suis entre quoi et quoi? Je sais pas trop, entre 4 et 8,4 à peu près. Si j'ai cette aire-là totale, je peux la calculer en deux morceaux, je peux dire que c'est égal d'un côté à l'air entre 4 et 7, puis ensuite à l'air entre 7 et 8,4. Donc c'est juste pour dire qu'on peut découper en deux, c'est vraiment très intuitif, j'ai pas grand chose à ajouter. Ces propriétés sont les propriétés intuitives de l'intégrale, j'espère qu'elles sont claires pour vous, et je vous dis à la prochaine pour une vidéo encore de propriétés. À tout de suite!

Propriétés 1 : intuitives !

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