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Ce cours traite de trois propriétés importantes en mathématiques. La première propriété concerne les fonctions nulles qui ont une intégrale nulle, mais cela ne signifie pas que toutes les fonctions dont l'intégrale est nulle sont nulles aussi. La deuxième propriété traite des fonctions paires et impaires. Les fonctions paires ont une intégrale symétrique centrée sur 0, tandis que les fonctions impaires ont une intégrale nulle sur un intervalle symétrique centré sur 0. La troisième propriété concerne les fonctions périodiques, dont l'intégrale sur tout intervalle de taille t est la même. Ces propriétés sont très utiles pour résoudre des problèmes et pour gagner du temps en étudiant des fonctions.

Petite vidéo bonus avec des propriétés sur lesquelles il est facile de faire des erreurs ou des propriétés qui sont très très pratiques en exercice. Donc commençons. La première propriété, si f est la fonction nulle, alors la fonction nulle c'est la fonction plate, la fonction qui est égale à l'axe aux x en fait si vous voulez, c'est la même chose, alors son R est complètement nul. En effet elle est complètement écrasée, il n'y a aucune différence entre la fonction f et l'axe aux x, donc intégrale nulle. Mais ce n'est pas pour autant qu'une fonction dont l'intégrale est nulle sur un intervalle a, b est la fonction nulle. Contre exemple. Si je prends cette fonction par exemple, déjà visuellement, je vois que ce n'est pas la fonction nulle, elle est tracée là en noir, ce n'est pas du tout la fonction nulle, et je comprends que son R par exemple entre moins 2 et 2 est égale à 0. Pourquoi? Parce que d'un côté j'ai une R négative qui compense parfaitement l'R positif de l'autre côté. Donc voilà, c'est évident quand on le voit mais c'est bien de ne pas se tromper parce que ce n'est pas impossible un peu rapidement dans un QCM ou je ne sais quoi de se dire intégrale entre a et b est égale à 0, f est égale à 0. Donc là en fait c'est un exemple que j'ai pris parce que je sais que la fonction cube est impaire donc c'est facile à calculer. Ce qui me fait une transition parfaite pour une propriété un peu bonus. Si j'ai une fonction paire, c'est à dire une fonction qui vérifie quel que soit x, f de moins x est égale à f de x. Donc par exemple cette parabole ici, ce genre de x2 ici, d'ailleurs c'est x2, c'est x² ici. Une fonction paire, je vais avoir que l'intégrale sur un intervalle symétrique centré sur 0, c'est à dire l'intégrale entre moins a et a, ce que l'on appelle le symétrique, c'est qu'on part de a d'un côté négatif et on part jusqu'à a du côté positif ici. L'intégrale, je vois que c'est cette R là plus cette R ci, c'est égale à deux fois l'R entre 0 et a. Bah oui, parce que c'est deux fois la même mais au-dessus. Alors que pour une fonction impaire, c'est à dire le cas ici, genre un x3 par exemple, f de moins x est égale à moins f de x, pour toute x, c'est la définition d'une fonction impaire. Sur un intervalle symétrique centré sur 0 cette fois, l'intégrale va être égale à 0. En effet, le bout côté moins a 0 va être négatif et compenser parfaitement le côté 0 a qui lui va être positif. Quand les deux ici sont les mêmes, on les additionne, ici les deux se compensent, ça fait 0. Dernière petite propriété bonus, pour une fonction périodique de période t, par exemple 2pi pour le sinus, j'ai toujours f de x plus grand t égal à f de x pour toute x. Alors l'intégrale sur tout intervalle de taille grand t va être la même. C'est à dire que je prends un a quelconque, l'intégrale entre a et a plus t va être toujours égale à l'intégrale entre 0 et grand t. Vous pouvez le voir sur un dessin, vous imaginez le sinus, la compensation d'erreur entre les valeurs au-dessus et les valeurs en dessous de l'axe aux x vont être les mêmes si vous vous décalez et vous gardez toujours un intervalle de taille de pi, de taille grand t. C'est important de le savoir, c'est un peu le même niveau que quand vous faites les études de fonctions, si vous repérez que c'est paire ou impaire par exemple, en premier ou même stané, en terminale, vous gagnez la moitié du temps, parce que vous vous dites on étudie maintenant, vu qu'elle est paire, la fonction sur r plus et on verra pour r moins en faisant juste une symétrie. Là c'est un peu pareil, vous pouvez gagner du temps grâce à ces diverses propriétés. J'espère que ça vous a un peu clarifié, c'était du bonus, je vous retrouve dans la vidéo suivante. Au revoir.

Propriétés 2 : remarques pratiques

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