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Lien avec les Primitives

Étudier les variations d'une fonction peut se faire en calculant sa dérivée pour déterminer le signe, puis la monotonie. Heureusement, pour une intégrale (intégrale de a à x de u de t), sa dérivée est facile à calculer avec u. Cependant, il faut faire attention aux bornes pour que cela marche bien. Pour l'intégrale de 0 à π de sin³(t), il est donc important de faire attention au programme d'intégration pour déterminer la dérivée. Ensuite, il est facile de déduire les variations. Sin³(t) étant du même signe que sin(x), la fonction est croissante jusqu'à π/2, puis décroissante. Il est également important de faire attention aux variables si elles sont locales ou pas et de ne pas inverser les bornes.

Un peu plus compliqué maintenant, on va essayer d'étudier les variations d'une fonction qui est définie elle-même par une intégrale. Donc, la méthode, c'est de déterminer les variations d'une fonction. L'habitude, ce qu'on a à faire, c'est de calculer la dérivée pour déterminer le signe de la dérivée, et donc la monotonie de ma fonction. L'intérêt, c'est que la dérivée d'une intégrale, c'est facile à calculer. Quand j'ai un truc du type intégrale de a à x de u de t, sa dérivée c'est u. Ensuite, c'est du très classique, j'étudie le signe de la dérivée, et j'en déduis les variations, et j'ai une tableau de variations. Donc là, on nous demande d'étudier les variations de la fonction f sur 0 de pi par f qui est égale à l'intégrale de 0 à x de sin cube de t. Alors, moi ce que j'aime pas trop, faut faire attention, c'est que faut pas se dire ah oui c'est une intégrale donc la dérivée c'est le truc qui est au milieu là, sin cube. Non, ça dépend des bornes, faut faire attention à ça. Je vais vous montrer un exemple, si je fais l'intégrale de moins x à 0 de h de t dt, avec h qui est une fonction quelconque, si j'appelle H une primitive de h, j'applique mon théorème fondamental, alors je dis que je fais l'intégrale de moins x à 0, mais en fait c'est l'intégrale de x à 0, je corrige ça tout de suite. Donc là j'applique mon théorème fondamental, et ça me fait l'intégrale de x à 0 de h de t, donc c'est grand H compris entre 0 et x, ça me fait h de 0 moins h de x. Et ça quand je dérive ça, quand je calcule la dérivée de cette fonction, ça me fait le, bon l'h de 0 évidemment il saute, c'est une constante, ça me fait moins h prime de x. Et comme grand H c'est une primitive, h prime ça fait petit h, donc là il y a un moins typiquement. Donc du coup ça dépend des bornes, donc évidemment quand c'est l'intégrale d'une constante, ça peut être 0 ou autre chose, peu importe, à x, là effectivement la dérivée ça sera ce qu'il y a à l'intérieur. Mais si vous voulez, n'appliquez pas bêtement le truc, il faut réfléchir un petit peu, parce que si ce n'est pas exactement le cas, typiquement que j'ai inversé les bornes là, ça ne fait pas exactement, là il y a un moins qui apparaît, donc il faut faire attention à ça. Donc très bien, trouvons la dérivée, donc là je leur fais justement le calcul, si je pose grand G égale sinc cube, je pose grand G et une primitive de petit g, j'applique mon théorème de fondamentale, je dis que f t'égale à l'intégrale de 0 à x de G de t de t, donc ça fait grand G de t entre 0 à x, ça fait G de x moins G de 0, du coup quand je dérive, ça me fait bien un grand G prime de x, parce que G de 0 ça saute en dérivant et ça me fait bien petit g donc sinc cube. Donc là on redroue bien la fonction à l'intérieur, je voulais reprouver rigoureusement. Petite remarque au passage, on voit qu'il y a des x, des t un peu partout, donc là on ne peut pas se tromper, t c'est ma variable d'intégration, c'est à l'intérieur de l'intégrale, elle n'a de sens que dans mon intégrale, ça veut dire quoi? ça veut dire que t varie de 0 à x, x c'est pas une variable locale, on voit que c'est f de x, elle a un sens à l'extérieur de mon intégrale, t n'en a aucun. Si je mets un t ici, ça veut rien dire, t il est défini qu'à l'intérieur, t c'est une variable locale qui varie de 0 à x, c'est comme quand vous faites les sommes de k allant de 0 à n, k il a de sens qu'à l'intérieur de la somme. Donc je ne peux pas avoir la même variable ici, ici, comme je l'ai expliqué dans une autre vidéo, on ne peut pas dire que t varie entre 0 et t, ça n'a pas de sens, donc il faut bien faire attention à ça. Ici ça sera la même variable que là en fait, là il faut bien se dire c'est local, du coup à l'extérieur de l'intégrale ça ne sera plus défini. Ensuite une fois qu'on a la dérivée, là c'est facile, on fait comme vous savez faire depuis la première, on étudie les signes de la dérivée, sinc cube, vu que c'est un cube c'est du même signe que sin x, entre 0 et pi, là évidemment je sais très bien comment ça se passe, sin est positif entre 0 et pi, et ensuite négatif, donc ma fonction elle est croissante, puis décroissante. Donc là j'ai déduit les variations, bon j'aurais pu calculer les valeurs, je ne l'ai pas fait parce que ma question c'était étudier les variations, donc là j'ai dit les variations, elle est croissante, puis décroissante. Après je pourrais calculer les valeurs en 0, en pi et de pi, ce n'est pas très compliqué. Donc voilà, finalement c'est assez simple de calculer les variations d'une fonction qui est définie comme une intégrale. Si il y a des choses que vous n'avez pas compris, vous pouvez poser des questions dans l'FAQ.

Fonction définie par une Intégrale

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