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Lien avec les Primitives

Dans ce cours de mathématiques, l'utilisation de la linéarité de l'intégrale est expliquée pour faciliter le calcul des primitifs. Le professeur nous donne un exemple, en nous faisant étudier la fonction f=x^2. Il nous demande tout d'abord de montrer que la fonction F proposée (F(x)=1/3x^3) est une primitive de f. Pour cela, il suffit de dériver F et de vérifier si la dérivée est bien égale à f. Dans la deuxième partie du cours, nous devons déterminer l'intégrale de 0 à 1 de 3x-2e^(x). Il y a une erreur d'énoncé à corriger (le t est remplacé par x). Pour trouver une primitive, le professeur rappelle la règle selon laquelle lorsque l'on a un polynôme multiplié par une exponentielle, on doit utiliser une IPP. En posant u=3x-2, et en utilisant la dérivée de u et la primitive de e^x pour v, il résout l'intégrale et trouve la primitive. Il conclut ensuite en rappelant que lorsqu'on a cette même forme de polynôme multipliée par une exponentielle, on doit toujours penser à utiliser cette méthode.

Dans cette méthode on va utiliser la linéarité de l'intégrale l'intégrale de la sum égale à la sum de l'intégrale parce que c'est souvent beaucoup plus simple pour calculer les primitifs de séparer Donc on nous fait étudier une fonction f égale x de x Première question, on demande de montrer que la fonction F proposée est une primitive C'est vraiment la question cadeau, j'ai juste à dériver, c'est quand même facile de dériver Comme d'habitude je justifie bien la dérivabilité sur R, pas de problème c'est un polynomial fois une exponentielle, tout est dérivable sur R, aucun problème Dérivé d'un produit, je fais le calcul, je retombe sur x de x, ça fait f de x, ok parfait donc c'est bien une primitive Du coup on demande de déterminer l'intégrale de 0 à 1 de 3t moins 2e de x de x Alors là je l'ai laissé exprès pour que vous voyez quand même de temps en temps il y a des erreurs d'énoncés Là c'est qui ce t là? Il débarque de nulle part, c'est sûr c'est une erreur Ce t n'est pas du tout défini, donc là c'est pas t qu'il voulait mettre, c'est x dans l'énoncé Donc en fait la vraie intégrale qu'on veut c'est 3x moins 2 fois e de x Donc là tout l'enjeu comme d'habitude c'est de trouver une primitive, c'est pas évident N'empêche qu'il y a une règle que vous pouvez garder toujours en tête C'est que quand j'ai un polynôme au point inexponentiel, là systématiquement je vais utiliser une IPP Parce que l'idée ça va être de faire baisser le degré, quand je dérive un polynôme ça fait baisser son degré Donc je vais faire baisser le degré de lui, et inexponentiel c'est très facile à primitiver, ça pose pas de problème Donc je pose u de x égale 3x moins 2, sa dérivée c'est 3, v prime c'est e de x Alors là comme c'est e de x, v c'est la même chose, une primitive de e de x c'est lui même Donc là j'ai bien les conditions pour une IPP, v prime est facile à primitiver, là c'est l'exponentiel Et j'ai un intérêt à avoir du prime plutôt que du u, parce que là il y a un degré inférieur Donc ça m'arrange de finalement calculer l'intégrale Donc je fais mon IPP, ça fait uv entre 0 et 1 moins l'intégrale de u prime v Donc je le remplace tout simplement avec mes u et v Donc le terme entre crochets c'est du calcul, je l'obtiens toujours assez vite Et ensuite j'ai l'intégrale de 0 et 1 de 3e de x, c'est beaucoup mieux à calculer comme intégrale Donc je peux éventuellement sortir le 3, et finalement j'ai juste e de x à intégrer Donc la primitive est très simple, parce que c'est aussi e de x, donc on fait e de x entre 0 et 1 Et donc, j'ai plus d'application numérique, ça fait e plus 2 moins 3, c'est 2 plus 3, je fais le calcul et il me reste moins 2, 2 plus 5 Donc là si on résume, ce qui est vraiment bien à retenir, c'est qu'on a un polynôme fois une exponentielle Vous pensez IPP, IPP, IPP Donc voilà pour cette méthode, pour appliquer tout ça, si vous avez des questions, n'hésitez pas dans la fac

Linéarité d'une Intégrale

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