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Lien avec les Primitives

Ce cours commence par montrer que pour tout x supérieur à 1, e de moins x carré est toujours positif. Ensuite, en utilisant les propriétés de la fonction exponentielle, on montre que cette fonction est inférieure à e de moins x. On en déduit donc un encadrement de l'intégrale de cette fonction sur l'intervalle de 1 à 2. En utilisant la propriété de monotonie de l'intégrale, on trouve finalement que cette intégrale est comprise entre 0 et e de moins 1 moins e de moins 2.

On va maintenant faire des encadrements intégrales qui peuvent nous être utiles pour trouver des limites, etc. Voilà pour cette méthode. On nous propose une fonction à étudier qui est f de x égale e de moins x carré et déjà première question, on nous demande d'encadrer ça. Pour tout x supérieur à 1, on veut trouver cet encadrement. Déjà supérieur à 0, c'est évident, une exponentielle est toujours positive. Donc forcément e de moins x carré est positive, quel que soit x, pour tout x supérieur à 1, d'ailleurs pour tout x réel aussi, peu importe, mais en l'occurrence c'est toujours vrai pour x supérieur à 1. Et ensuite, pour montrer que c'est plus petit que e de moins x, je vais résonner, je vais encadrer petit à petit. J'ai x qui est supérieur à 1, par hypothèse, donc je multiplie par x qui est positif, toujours se poser la question, quand j'utilise une inégalité c'est bien positif donc ça ne change pas le signe de mes inégalités. J'ai x qui est supérieur à x carré, je multiplie par moins 1, là ça change le signe, alors je permute, c'est moins x carré plus x, et je compose par l'exponentielle qui est une fonction strictement croissante. Donc ça ne change pas le signe de mes inégalités. Donc voilà, j'ai bien l'inégalité voulue, les deux réunis ça donne bien le résultat demandé. Et du coup je dois en déduire un encadrement de l'intégrale de 1 à 2 de f de x dx. Donc par monotonie de l'intégrale, c'est la propriété à utiliser, pour tout x appartenant à 1, 2, j'ai 0 qui est inférieur à f qui est inférieur à e de moins x, donc du coup je fais l'intégrale de chacune de ces deux fonctions, donc l'intégrale de 1 à 2 de 0, évidemment ça fait 0, l'intégrale ici de 1 à 2 de f de x, c'est ce que je cherche à encadrer, et l'intégrale de 1 à 2 de e de moins x, là c'est une fonction que je sais facilement primitiver, ça fait moins e de moins x, je fais le calcul, ça fait e de moins 1 moins e de moins 2. Donc finalement j'ai encadré mon intégrale, je sais que cette intégrale là est comprise entre 0 et e de moins 1 moins e de moins 2. Donc voilà comment on peut encadrer une intégrale en utilisant la monotonie de l'intégrale.

Encadrer une Intégrale

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