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La valeur moyenne d'une fonction est définie comme le nombre mu égal à 1 sur b moins a fois l'intégrale entre a et b de f, où f est une fonction continue. On peut voir la valeur moyenne comme une moyenne arithmétique des rectangles infiniment fins entre a et b. Elle peut également être comprise géométriquement comme la valeur constante telle que l'air sous la courbe de la fonction constante soit égale à l'air sous la courbe de f. La valeur moyenne est la hauteur du rectangle parfait qui a la même aire que l'aire sous la courbe de f. Elle est utile pour résoudre des exercices de méthodes. Si vous avez des questions, la FAQ est ouverte.

Dans cette vidéo je vais vous présenter ce qu'est la valeur moyenne d'une fonction. Alors la définition très basique du cours c'est soit f une fonction continue, on appelle valeur moyenne le nombre mu égale 1 sur b moins a fois intégrale entre a et b de f. Très bien. Pour bien la comprendre on peut voir le parallèle entre cette fonction, pas du tout cette fonction, ce nombre pardon, et une moyenne arithmétique. Rappelez-vous que l'intégrale entre a et b c'est en fait une somme pour des éléments infiniment petits mais qui sont un nombre infini entre a et b. Donc on prend une infinité de rectangles infiniment fins entre a et b et on prend la somme. Et on divise ça par la taille totale du groupe de rectangles si vous voulez, qui tient sur tout l'intervalle b moins a. Cette somme de valeur derrière le rectangle divisé par le nombre total de rectangle, enfin le groupe total, ça ressemble un peu à une somme des notes de maths des gens de votre classe divisée par le nombre total de gens. C'est ça un peu l'intuition derrière. Une autre manière de le voir que j'aime bien, c'est de manière géométrique. On peut dire que μ, c'est la valeur constante telle que si on prend μ comme une fonction constante, l'air sous la courbe de la fonction constante égale à μ, c'est-à-dire μ fois b moins 1, c'est un rectangle, soit égal à l'air sous la courbe f. Alors laissez-moi illustrer ça avec un petit graphe, mais c'est une deuxième manière de bien comprendre cette moyenne. Voilà, donc là je vous ai tracé une fonction entre (-0,2, 4,8), bon j'ai fait un peu au pif, je vous ai mis une fonction parabolique. J'ai tracé ici la valeur moyenne. La valeur moyenne c'est laquelle donc, si je fais attention, c'est la valeur pour laquelle cette air là va être exactement égale à cette air-ci. L'air sous la courbe, c'est-à-dire l'intégrale entre a et b de f, va être égale à b moins a, donc la largeur du rectangle ici, fois μ, la hauteur. Donc si je prenais une autre hauteur, plus haut, j'aurais une air qui est plus grosse que l'air sous la courbe f ici. Donc si je prenais un rectangle qui était plus bas, ça serait la même chose. Ça serait compliqué. Donc l'idée c'est que si je prends un rectangle qui est trop bas, j'ai une air qui est trop faible par rapport à l'air sous la courbe. Si je prends un rectangle qui est beaucoup trop haut, j'aurais une air beaucoup trop grosse. Mais entre ces deux cas extrêmes que je viens de décrire, il y a un moment où il y a un rectangle parfait où les airs du rectangle et de la courbe sont égales. À ce moment, c'est la valeur moyenne. J'espère que ça a clarifié un peu votre vision sur la valeur moyenne. Vous verrez en exercice comment l'appliquer pour des méthodes... Enfin, vous verrez dans les vidéos de méthode comment l'appliquer en exo. Si vous avez des questions ici déjà sur la théorie, dites-moi. Dans la FAQ toujours, c'est ouvert. Et je vous dis à la prochaine pour une prochaine vidéo.

Valeur Moyenne

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