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Dans ce cours, on étudie une suite d'intégrales et on cherche à trouver sa convergence. On nous pose une suite de fonctions fn de t qui vaut 1 sur 1 plus t à la puissance n et in qui va être l'intégrale de 0 à 1 de cette fonction fn. On guide l'exercice en essayant d'encadrer cette fonction entre 1 et 1 moins t à la puissance n. La première méthode consiste à construire des inégalités. On obtient le premier bout de l'inégalité en suivant ce raisonnement : 1,5 est compris entre 1 sur 1 plus t à la puissance n qui est plus petit que 1. Pour le deuxième, on multiplie par moins 1 et on essaie de sommer avec l'autre inégalité. Quand cela ne marche pas, on fait la méthode instinctive en faisant la différence.Ensuite, on calcule l'intégrale en utilisant la linéarité de l'intégrale et on trouve l'encadrement de la suite.Finalement, on utilise le théorème d'encadrement pour montrer que la suite converge et donner sa limite qui est 1.

Dernière méthode qui n'est pas la plus simple, on va étudier une suite d'intégrales et essayer de trouver sa convergence. Donc là on nous pose ce qu'on appelle une suite de fonctions fn de t qui vaut 1 sur 1 plus t à la puissance n et in qui va être l'intégrale de 0 à 1 de cette fonction fn. L'exercice nous guide, on va essayer d'encadrer cette fonction entre 1 et 1 moins t à la puissance n. Donc première méthode, on construit ses inégalités, je pars de t, je sais que t est compris entre 0 et 1, je mets la puissance n qui est une fonction croissante donc pas de problème, ça ne change pas le sens des inégalités, je rajoute 1, donc j'ai 1 plus t à la puissance n qui est compris entre 1 et 2, je passe à l'inverse, je compose par la fonction inverse qui est décroissante, donc je trouve que 1,5 est compris entre 1 sur 1 plus t à la puissance n qui est plus petit que 1. Donc j'ai le premier bout de mon inégalité. Maintenant le deuxième, pour le deuxième, je repars, là j'ai mon t à la puissance n, je vais repartir de là, ce qu'il me faut c'est du moins t à la puissance n, donc je multiplie par moins 1, ça me donne ça, j'essaye de sommer avec l'autre inégalité que j'avais obtenue initialement, ça me fait 1 moins t à la puissance n qui est plus petit que 1 plus t à la puissance n. Ça en fait, c'était plutôt évident, donc je n'arrive pas trop à obtenir l'inverse, ça ne marche pas là. En essayant de la construire, je tourne un peu en rond, donc la première méthode marchait bien pour la première inégalité, mais pas pour la deuxième, je tourne en rond, donc là dans ce cas-là, si je n'arrive pas à la construire, ce n'est pas grave, je fais la méthode qui est la plus instinctive, c'est je fais la différence, je dis le terme 1 sur 1 plus t à la puissance n, moins 1 moins t à la puissance n, et ça il faut que je montre que c'est supérieur à 0. Donc là, l'idée c'est de mettre tout au même dénominateur, et là c'est là où le coup de bol, ça se passe bien, c'est 1, je reconnais un truc du type a-b fois a plus b, donc ça me fait du a² moins b², le dénominateur, alors là j'ai fait une petite erreur ici, c'est pas du t², c'est du t à la puissance n, ça, le dénominateur, je m'en fiche un peu parce qu'il est positif, et là quand je simplifie, je trouve du t à la puissance de n qui est positif aussi, donc cette expression-là est positive. Et donc j'en déduis que j'ai bien 1 moins t à la puissance n qui est plus petit que 1 sur 1 plus t à la puissance n. Donc finalement j'ai bien mes deux encadrements, et je trouve que je peux répondre à la question posée, il m'a permis d'encadrer cette fonction fn de t, ça c'est fn de t, donc maintenant j'ai un encadrement d'fn. Ensuite, on va peut-être un peu grossir, donc là ensuite on me demande de calculer l'intégrale de 0 à 1 de 1 moins t à la puissance n. Bon là j'utilise la linéarité de l'intégrale, 1 moins t à la puissance n c'est un polynome, ça s'intègre très très bien, je trouve les primitifs sans problème, c'est t, et t à la puissance n plus 1 sur n plus 1, bon bah je fais le calcul entre 0 et 1 d'après le théorème fondamental, et je trouve 1 moins 1 sur n plus 1, et si je mets mon dénominateur ça fait n sur n plus 1. Ok, et donc j'en déduise maintenant un encadrement de im, évidemment comme c'est en déduire, attention, en déduire ça veut dire vraiment grâce à la question précédente, je vois que le 1 moins t à la puissance n c'est quand même quelque chose que j'avais dans mon encadrement, donc en fait je vais en déduire juste, je vais devoir intégrer mon encadrement. Si j'ai la monotonie de l'intégrale, je repars de mon encadrement, je calcule l'intégrale de chacune de ces fonctions de 0 à 1, donc ça c'est ma, pardon, c'est mon intégrale im, et l'intégrale de 0 à 1, bah 1 c'est facile ça fait 1, et l'intégrale de 0 à 1 de 1 moins t à la puissance n, bah on vient de faire le calcul, c'est n sur n plus 1. Donc finalement j'ai pu encadrer im, et là finalement je suis dans un exercice de suite très classique, j'ai encadré ma suite im, il faut qu'on montre maintenant qu'elle converge et donner sa limite. Là on voit bien que quand je réécris n sur n plus 1 de la forme 1 moins 1 sur n plus 1, ça ça tend vers 1, donc là j'ai deux suites qui tendent chacune vers 1, donc là je vois tout de suite qu'il faut utiliser le théorème d'encadrement. D'après le théorème d'encadrement, j'ai les deux informations n'oublie pas, le théorème d'encadrement me donne les deux infos, non seulement que im converge, et en plus qu'elle tend vers 1. Voilà un exemple de méthode pour les suites d'intégram.

Suite d'Intégrales

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