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Fonctions et Limites

Ce cours aborde la méthode pour déterminer l'ensemble de définition d'une fonction avec logarithme et calculer sa dérivée. Il est important de bien regarder l'ensemble de définition d'une expression, notamment pour une inégalité. La première fonction est f(x) = ln(8x-4), pour laquelle l'ensemble de définition est 1/2 à l'infini et la dérivée est 2/(2x-1). La deuxième fonction est f(x) = ln(x^2 + x + 1), qui est définie et dérivable sur R tout entier et la dérivée est 2x/(x^2 + x + 1). La troisième fonction est f(x) = ln(u/v), avec u(x) = x-1 et v(x) = 2x+4. L'ensemble de définition est (-∞, -2) U (1, +∞) et la dérivée est (6/(v(u-v))(u/v)). Finalement, la quatrième fonction est f(x) = ln(e^x / e^0.1x), qui est définie et dérivable sur R+ étoile et la dérivée est e^x / e^0.1x. Il est important de mémoriser de toujours vérifier l'ensemble de définition pour une expression impliquant une fonction logarithmique.

En utilisant le logarithme, il faut toujours faire attention, puisqu'il est défini que sur Réactoire+, de bien regarder l'ensemble de définition d'une expression qui fait intervenir le logarithme. Donc là, on va se focaliser sur cette méthode, sur ça, déterminer l'ensemble de définition d'une fonction avec le logarithme et calculer sa dérivée. Et en fait, parfois, alors là, évidemment vous n'allez pas oublier de le faire, mais dans un exercice un peu plus long, où on vous introduit une fonction, etc., souvent les élèves partent tête baissée et ils oublient de dire, ah, en fait, étudiant dans une inégalité, par exemple, souvent pour une fonction où vous avez le réflexe et qu'on a une inégalité à étudier, parfois les élèves oublient de regarder pour quel ensemble cette inégalité est définie. Donc, regardons d'un peu plus près. Donc, première fonction f de x égale ln de 8x-4. Donc, la fonction ln est définie et dérivable sur R étoile plus, donc ce que je vais juste regarder c'est pour quelle valeur de x 8x-4 est supérieur à 0, donc c'est pour x strictement supérieur à 1 demi, donc mon intervalle y de dérivabilité et de définition, qui est le même, c'est 1 demi plus infini. Ensuite, je remarque que ma fonction est de la forme ln de u, donc sa dérivée c'est u prime sur u, je fais les calculs, je trouve qu'en simplifiant par 4 que ça fait 2 sur 2x-1. Deuxième expression, ln de un polynôme x carré plus x plus 1 de degré 2. Donc là, degré 2 on sait faire, on va regarder quand est-ce qu'il est strictement positif, on regarde son delta, son discriminant qui est strictement négatif. Bon, vous savez bien, c'est à dire que le polynôme que j'ai appelé g, il est de signe constant, et comme je regarde le coefficient de plus haut degré, on l'appelle souvent le a ici, il vaut 1, donc c'est un polynôme en u, donc là il va être toujours positif. Donc finalement, ma fonction f qui est de la forme ln de g, elle est définie, dérivable sur R, mon polynôme est toujours strictement positif. Donc là, je refais le calcul usuel, f' qui est égal à g' sur g, donc ça me fait 2x sur x carré plus x plus 1, et encore une fois, défini sur R tout entier. Ensuite, on a une fonction type ln d'un quotient, ln de u sur v. Là, pareil, on va devoir faire une étude de signe pour savoir quand est-ce que c'est strictement positif. Donc, voilà, je fais un tableau de signe classique, tableau de signe de x-1, tableau de signe de 2x plus 4, x-1 change de signe en 1, 2x plus 4 change de signe en moins 2, je fais mon petit tableau de signe et je vois que c'est strictement, on ne dit pas ici la valeur interdite, puisque c'est au quotient, donc finalement on va être positif strictement de moins l'infini à moins 2 ouverts, et de 1 ouvert à plus l'infini. Donc là, on fait juste le tableau de signe proprement et on sait que notre intervalle de définition et donc de dérivabilité aussi, puisque sur un quotient c'est le même, c'est cet intervalle là, moins l'infini moins 2, union 1 plus l'infini. Et ensuite, pour la dérivée c'est un peu plus compliqué, comme c'est ln de u sur v, ça fait la dérivée de u sur v divisé par u sur v. Donc la dérivée de u sur v c'est u prime v moins u prime v sur v carré, et divisé par une fonction c, multiplié par l'inverse, donc je fais x v sur u. Donc là c'est pas mal de voir déjà, sans rentrer toutes les données, mais juste en résonnant sur u sur v, comme ça je peux simplifier le v ici et le carré là, ça simplifie quand même l'expression, et je vois que ça fait u prime v moins u prime x v u. Et là je remplace tout simplement bêtement, je fais mes calculs, au numérateur j'ai un polynôme, qui se simplifie bien en plus, ça me fait juste 6, et j'ai un facteur de deux termes au dénominateur. Donc voilà ma dérivée. Dernière fonction, là qui fait intervenir et le logarithme, et l'exponentiel. Donc comme d'habitude je regarde quand est-ce que mon expression à l'intérieur du logarithme est strictement positive, c'est pour x strictement supérieur à 0, donc en fait f est défini et dérivable sur r étoile plus, comme composé de telles fonctions. Encore une fois f est de la forme ln de u, donc c'est à dire que f prime c u prime sur u, je fais les calculs et j'en déduis que f prime égal e de x sur e de x point 1. Voilà pour ces petits exemples, je vous dis qu'il faut bien mémoriser, c'est quand il y a du logarithme avec une expression à l'intérieur, toujours se poser la question quand est-ce que c'est défini. Voilà tout simplement.

Dériver ln(u)

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