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Récurrence

Ce cours traite d'une suite définie par une relation de récurrence. Il explique comment calculer les termes de la suite en fonction du terme initial et de l'indice. Le processus se divise en deux étapes : l'intuition du résultat et la démonstration par récurrence. On montre que la suite peut être représentée par la formule u_n = u_0^(2^n). La démonstration de cette formule est simple et se fait facilement par récurrence. En conclusion, il est important de se familiariser avec les techniques de résolution d'exercices difficiles, car cela sera utile tant au lycée qu'à l'université.

Un peu plus bizarre, celui-là, le grand principe, la grande conclusion pratique de celui-ci, c'est je vous la mets à la pince, maintenant toutes ces conclusions ne seront plus jamais des surprises Écrire les premiers termes, ça aide Alors, écrire les premiers termes, ça aide Et j'ai déconné ma conclusion Aide, beaucoup Voilà, petit truc par cœur, c'est ça Écrire les premiers termes, ça aide On va voir ça tout de suite Là l'exemple est très large, enfin très ouvert si vous voulez On vous dit, une suite définie par un u0 quelconque, vraiment dans R au pif Et quel que soit n, donc c'est une suite définie par relation de récurrence, donc d'un terme à l'autre un plus un égal un carré, calculez un en fonction de u0 et n Là le process c'est toujours la même chose, c'est deux étapes Donc deux étapes, je vous le mets en rouge, deux étapes Intuition du résultat Alors je vais écrire mieux Intuition du résultat Avec le calcul de u1, u2, u3, etc Démonstration de l'intuition par récurrence Vous vous souvenez, à l'issue de u3, on fait une hypothèse sur un égale On écrit une formule qui a l'air d'être vraie pour u1, u2, u3, et donc qui a l'air d'être générale Puis on la démontre par récurrence C'est parti, simplement ici u0, ok u1 égale u0 au carré, ok u2 égale u1 au carré a égale u0 au carré au carré égale u0 puissance, je vais mettre 2 fois 2 Je vais laisser les nombres parce que Si j'écris 4, on va perdre le fait que c'était 2 fois 2, donc je vais laisser 2 fois 2 Et voilà, on va voir Donc u3 égale u2 au carré On a compris u0 2 fois 2 au carré u0 2 fois 2 fois 2 Là je commence à avoir envie d'écrire u0 puissance 2 puissance 3 Pourquoi ? Parce que je reconnais qu'il y a 3, 3 si je fais ça Là il y avait 2, 2, 2 Donc c'est parti, tout de suite Vous pouvez continuer avec u4, u5, normalement vous êtes convaincus assez vite Vous avez ça, c'est vos essais Les essais Oups, bon j'ai écrit essais, donc voilà Les essais Et là on fait vraiment l'hypothèse Hypothèse On sent qu'il va arriver un égale u0 puissance 2 puissance n Alors c'est pas u0 puissance 2, le tout puissance n Là c'est, attention différent de u0 au carré puissance n qui est égale à u0 puissance 2 n Rien à voir, c'est u0 puissance 2 puissance n Donc c'est la puissance qui elle-même a une puissance Pourquoi pas Alors n égale 0 Initialisation par récurrence On monte ça par récurrence, c'est l'étape 2 Demo, ça sera la démo Vous avez les essais, votre hypothèse, la démo Par récurrence n égale 0, on a d'un côté u0 D'autre côté on a u0 puissance 2 puissance 0 égale u0 puissance 1 égale u0 Ça marche Alors là ça devient bizarre, vous allez me dire mais qu'est-ce que c'est que ça ? En fait c'est la vérification que ça marche pour le rang 0 C'est un peu bizarre mais c'est ça en fait qu'on fait On regarde combien vaut u0 Le terme 0, combien vaut la suite un Combien vaut notre formule au point 0 On a vu qu'elle dépend de u0, on l'écrit là Et on écrit bien u0 puissance 2 puissance 0 On voit que ça fait 1, on voit que ça fait 0 Les deux sont égaux, c'est bon Hérédité En fait ça va aller tout seul puisqu'on a une formule de récurrence On a une formule de définition de la suite de type par récurrence Donc en soi, ça va être simple u puissance n Alors je vais vous faire le brouillon pour le faire bien mais ça ne sert vraiment pas à grand chose ici On a u puissance n égale u0 puissance 2 puissance n On a HR c'est ça Et on veut Mais là je l'écris juste pour appliquer le principe que je vous ai dit tout à l'heure puisqu'en soi, 0 puissance 2 puissance n plus 1 Donc j'écris juste un plus 1 égale Ce n'est pas HR que je vais appliquer ici C'est la def Et par définition Par définition même de la suite Dans ce que vous avez donné dans l'énoncé Par définition c'est un carré égale Cette fois-ci, dans chaque égalité il faut justifier Cette fois-ci c'est HR égale u0 puissance 2 n au carré égale u0 puissance Donc là, attention à la courbe de troisième ou quatrième, je ne sais plus, les puissances 2 puissance n fois 2 Quand on a une puissance comme ça, comme ça on fait fois égale u0 puissance 2 puissance n plus 1 C'est démontré Conclusion On a montré que Pn implique Pn plus 1 On a démonté par récurrence que Pn est vrai La rédaction de votre prof Et au bac, rédaction clean et passive Mais je vais avancer Voilà, ça se démontre En fait c'est trivial ici Mais quand vous avez la formule La récurrence ici n'a aucune difficulté Elle tient en une ligne Vous avez u0, il faut bien la faire Là il y a moyen de faire mal Il faut faire précisément et tout Je ne dis pas, il y a moyen de se planter En soi, vous écrivez ça en une ligne, ça tient Tout le truc de cet exercice, ce n'est pas cette démonstration Là je vous l'ai fait, c'est bien Tout le truc de l'exo, c'est ça Cette recherche au bruit, on se souvient Les essais, la galère sur les premiers termes Et pour ceux qui iront en SUP Soit en MathU ou en ECS Ou je ne sais pas quoi Qui vont faire des maths dans le supérieur Vous verrez, on va de plus en plus vous dire Dépatouille-toi, voici une question Fais, fais quelque chose Commence sur la page blanche Encore plus dire que l'angoisse de la page blanche Que vous pouvez avoir au lycée C'est vraiment, il n'y aura pas grand chose de dit Il faudra se dépatouiller Donc il faut apprendre Quels sont les dépatouillages communs Un des dépatouillages communs c'est D'écrire ce qu'on sait et ce qu'on veut Un autre dépatouillage commun c'est Essayer les premiers termes Et donc à chaque fois que je fais un exo Je vais essayer de donner un peu ces trucs là Parce que c'est ces attitudes là Cet espèce de méta-math si vous voulez Qui vont être le plus important Plus que la connaissance du Enfin c'est bien de connaître son chapitre Il faut connaître son chapitre, etc. Mais savoir comment gérer Les exos un peu flous avec peu d'indications C'est vraiment un truc capital qu'il faut savoir faire C'est bien pour le supérieur Mais c'est aussi bien pour le bac en soi Voilà

Trop de puissance !

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