Home

Terminale

Maths Spé

Analyse

Convexité

La vidéo traite de la convexité et commence par expliquer que l'on peut comprendre très simplement ce qu'est une fonction convexe ou concave avec l'aide d'un graphique. L'explication visuelle consiste à dire que convex c'est quand ça monte comme ça, et concave c'est quand ça monte mais pas trop vite. La vidéo introduit ensuite la définition mathématique officielle de la convexité, qui consiste à définir une séquente comme toute droite qui relie deux points d'une courbe, et une fonction convexe si, pour tout réel X de l'intervalle I, la courbe est en dessous de cette séquente. La vidéo explique que cette définition s'applique à toutes les fonctions, qu'elles soient continues ou pas. Enfin, la vidéo présente deux exemples de fonctions convexes et concaves, avec des graphiques pour illustrer ces concepts.

Pour cette première vidéo sur la convexité et les définitions de la convexité, on pourrait faire un truc très très simple avec un graph, c'est en gros vous dire bon écoutez les mecs convex c'est comme ça, comme ça, concave c'est comme ça, voilà les gens c'est ça qu'il faut savoir. Et donc on pourrait pousser un peu plus et dire bon convex en gros c'est quand ça a l'air de monter de plus en plus et concave quand ça a l'air de monter mais pas trop vite. Une autre version c'est de se rappeler que convex c'est quand ça sourit et concave c'est quand ça fait la tranche. Donc ça c'est l'idée générale, on va pousser un peu plus et introduire quand même la définition mathématique officielle. On commence par une définition très très fondamentale. Qu'est ce qu'une séquente ou une corde? Le vocabulaire dépend des profs. Une séquente c'est toute droite qui rejoint deux points d'une courbe. Voilà. Donc ici vous voyez j'ai le point A, le point B, une séquente ça serait la droite bleue. Quelle est la définition d'une fonction convex? Donc si on dit une fonction F avec sa courbe CF dans un repère, on est convex sur un intervalle I si pour tout réel X de I, la courbe CF est en dessous de ces séquentes. Elle sera concave si elle est au dessus de ces séquentes. Très bien, allons voir quand même le graphe pour vérifier un peu qu'on a compris ce que ça veut dire tout ça. On est de retour, alors je vais virer ça, je vais commencer par la fonction convex. Traçons une corde, prenons une corde au hasard pour illustrer. Je prends un point A ici, un point B ici, et je vais tracer la corde entre les deux points A et B. Surprise! En effet, la fonction rouge, donc CF rouge là, est bien en dessous de sa séquente. C'est ça qu'on veut dire quand on dit qu'une fonction est convex, elle sera en dessous de toute corde, toute séquente qui relie deux points de sa courbe. On peut aussi aller voir le cas qui ressemble plus à un logarithme qu'on a vu tout à l'heure, c'est-à-dire le cas comme ça. Si je me réamuse à prendre des points A ici et un exemple B ici, je pourrais en prendre d'autres, mais j'en prends qui sont assez écartés pour que vous voyez quelque chose, et que je trace la séquente, la corde, boum! Ce petit bout de trait bleu est cette fois-ci en dessous de la courbe, c'est ce qu'on appelle être concave. Pour faire un dernier point là-dessus, ce qui est très important, c'est que dans cette définition, il n'y a pas grand-chose. On dit juste qu'on est concave ou convex selon la position de ces droites qu'on peut tracer à partir de la courbe. Donc là, bien sûr, j'ai tracé des jolies fonctions, des fonctions qui sont continues dérivables, mais il n'y a rien de tout ça dans la définition. On peut être convex, on peut être concave, tout en étant par exemple non dérivable. Ce n'est pas spécialement lié. C'est tout ce que j'ai pour cette vidéo de présentation et la définition exacte de la continuité. Je vous retrouve dans la prochaine. Bye bye!

Intuition et déf

RELATED

Recommended videos

Convexité et f''

Convexité et Inégalités

Points d'Inflexion