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Convexité

Ce cours aborde les fonctions classiques comme la fonction racine et la fonction log. Les fonctions convexes sont celles qui ressemblent à un sourire, comme x² et exp x, tandis que les fonctions concaves ont une courbe en forme de sourire inversé, comme la fonction racine. La fonction 1 sur x est convexe sur r plus, mais concave sur r moins. Une règle hors programme, mais utile à retenir, est que les racines, comme la racine carrée, sont toujours concaves, tandis que les puissances supérieures strictes à 1 sont toujours convexes sur r plus. Les puissances de x peuvent être traçées pour illustrer cette règle.

Une petite vidéo assez rapide pour vous donner un peu de culture G sur les fonctions classiques que vous connaissez déjà. Alors ici on a quelques fonctions très classiques donc la fonction racine, la fonction log. Ces deux fonctions sont concaves donc ça va ressembler un peu au graph que j'ai utilisé dans la vidéo précédente. Alors je vais vous montrer tout de suite à quoi ça ressemblait. Voilà on avait une fonction type log par exemple ici c'était l'exemple de la fonction qui était concave et la racine sera un peu du même style. C'est très bien. De la même manière on pourra dire donc avec le moyen mnémotechnique très simple, un peu simple et que j'ai donné avant que x² et exp x sont des fonctions convexes. En effet leur courbe a l'air de sourire. Si ça a l'air de sourire c'est qu'en général c'est convexe. Donc ça il faut le connaître par cœur ces courbes là. La fonction 1 sur x quant à elle est convexe sur r plus étoile. Elle ne sera pas convexe sur r moins étoile, là elle sera concave. Donc ça vous pouvez la tracer pour le vérifier. Un petit bonus légèrement hors programme. Si on prend, on va rester sur r plus donc sur la partie droite du graphique, une règle un peu qui est possible de retenir même si elle est un peu hors programme encore une fois. Si on prend un alpha positif et on va considérer les fonctions x puissance alpha pour alpha entre 0 et 1. Donc alpha entre 0 et 1 ça va être par exemple alpha égal 1 demi et x puissance alpha. Ça sera x puissance 1 demi, c'est une autre écriture de la racine, racine de x. Donc quand alpha est plus petit que 1 mais toujours positif, on parle donc des racines cubiques, les racines carrées, toutes les racines cinquièmes, ce que vous voulez. Toutes ces fonctions là vont ressembler à la racine carrée et elles vont être concaves sur r plus. Par contre toutes les fonctions x puissance alpha avec alpha plus grand que 1, genre x carré, x3, x4, etc. Sur r plus uniquement vont être convexes. Si je vais dans le détail vraiment que vous pouvez vérifier en traçant des fonctions, sur r moins ça va dépendre. x2 va être convex tout le temps, r moins et r plus. x3 va être concave puis convex. Et en fait il y aura une règle selon si on a un nombre de paires en puissance, les x2, x4, x6 d'un côté et les x3, x5, etc. de l'autre. Là je vais un peu loin. Donc pour ceux que ça intéresse vous pouvez retenir cette règle sur r plus. Les puissances plus petites que 1, donc les racines, sont toujours concaves. Les puissances supérieures strictes à 1 sont toujours convexes. Et égal à 1 c'est la fonction y, égal à x c'est la droite. Cette droite on peut dire qu'elle est à la fois convexe et concave parce que toute droite est à la fois en dessous et au dessus de ces séquences vu que les séquences sont à la droite elles-mêmes. Laissons-moi juste illustrer un petit peu cet exemple de puissance alpha. Alors ce que je vais faire c'est que je vais vous tracer des x puissance alpha avec alpha qui va de 0,1 à 2. Donc si je prends alpha égal à 0,1 j'ai ça. Je pourrais zoomer et voir qu'en fait là ça plonge à 0, c'est une espèce de racine. 0,1 c'est 1 dixième donc c'est x puissance 1 dixième selon la racine dixième. Bon, 0,2 toujours concave, 0,3, 0,4, 0,5, 0,6. 0,5 c'est la racine classique, c'est alpha égal à 1,5. 0,6, 0,7, 0,8, 0,9. On approche dangereusement, c'est encore une racine ici, c'est un petit peu courbé de la droite pure. Pouf, pour alpha égal à 1. Voilà là c'est le cas qui est convex et concave, c'est une droite. Et si j'augmente un peu, 1,1, 1,2, 1,3, je suis passé du côté convex jusqu'à x². Je me suis arrêté à 2. Ça c'est x² et convex. Donc on a toute une partie convex, on arrive à la droite qui sépare les deux cas et les concaves. C'est ça que je voulais illustrer, je me dis que c'est pas très compliqué à retenir. C'est vrai que c'est pas la formule du programme mais elle est pas mal. Sur ce, je vous laisse. C'était tout pour cette vidéo assez courte au final sur les fonctions classiques. Et posez-moi des questions dans le forum bien sûr si vous en avez. Sinon je vous retrouve dans la prochaine vidéo. Bye, bye.

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