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Convexité

Dans ce cours, nous apprenons la relation entre une fonction convex et ses séquentes. Pour être précis, nous étudions la différence d'ordonnée d'un point sur le segment bleu et d'un point sur la courbe rouge pour une même abscisse comprise entre l'abscisse de A et de B. Cette différence est plus grande lorsque le point est sur la courbe rouge que lorsqu'il est sur le segment bleu, ce qui montre que la fonction est convex. Nous nommons le point d'abscisse intermédiaire entre A et B "T" et prenons une moyenne pondérée des abscisses pour comparer l'image de ce point sur la courbe rouge à celle de l'équation du segment de la séquente. Nous démontrons ensuite que le lien entre la convexité et la concavité est réciproque. Une fonction convexe est moins concave et vice versa.

Une autre vidéo importante, traduction de la convexité par une inégalité. En fait, tout ce qu'on va faire ici c'est traduire exactement la relation entre la courbe et la séquente. Donc on a déjà vu qu'une fonction convex est en dessous de ses séquentes. Je peux vous montrer le petit graphe si vous voulez. C'était celui-ci, donc on a une courbe qui est, alors si je joue un peu, hop, ici, une courbe en rouge qui est en dessous des séquentes bleues, c'est une fonction convex. On va traduire le fait d'être en dessous en étudiant si vous voulez la différence d'ordonnée d'un point sur le segment bleu et d'un point sur le segment rouge pour une même abscisse comprise entre l'abscisse de A et B. On va prendre cette abscisse-là et on va comparer ces deux points. Ce point-là et ce point-là. Alors là ils ont des valeurs particulières mais on va essayer de démontrer que quand on a une fonction convex, le point ici sur ce segment est plus haut. Encore une fois, d'ordonnée, que le point de même abscisse, sur la ligne droite ici, mais qui lui est sur la courbe rouge. C'est ça l'inégalité qu'on va avoir dans cette partie du programme. Avec ce dessin en tête, on va pouvoir dire qu'on a un point d'abscisse intermédiaire entre A et B. C'est pour ça qu'on va nommer ce petit T ici entre 0 et 1, on va faire une pondération des abscisses de A et de B. Donc si A est d'abscisse X et B est d'abscisse Y, on va pondérer tout ça, on va prendre une moyenne en fait, et on regarde que l'image de ce point d'abscisse intermédiaire, donc par la fonction, c'est-à-dire sur la courbe rouge, F ici, est bien inférieure à l'image de cette abscisse par l'équation du segment de la séquente. Alors la difficulté ça va être de dire, là en fait je vais vous faire une vidéo en deux temps, ça pourrait être du bonus pour ceux qui sont intéressés, ça peut être un peu compliqué peut-être, mais souvent les démonstrations sont un peu hâtives je trouve, et acceptent très vite que cette chose là, donc ce TF2X plus 1-TF2Y, ils acceptent très vite que cette chose là, alors je sais pas si vous le voyez bien, mon laser ne marche plus, voilà, que cette chose soit en effet l'image du point d'abscisse intermédiaire TX plus 1-TY sur le segment comme je montrais tout à l'heure. Je vous ferai une démonstration pour ceux qui s'intéressent. Je vais vous mettre quand même la démonstration rapide qui elle est au programme. Donc version courte de la démo, on prend exactement la traduction du dessin, enfin de la courbe que je vous ai montré, soit 2 réels X et Y, soit un T réel de 0,1. On a AXF2X, BYF2Y, donc je vais revenir quand même pour le principe à mon graph qui est ici. Donc on prend ce point A, qui est d'abscisse, on va appeler ça X et F2X, ce point B d'abscisse YF2Y, et on va prendre un point M qui est d'une abscisse intermédiaire, c'est-à-dire TX plus 1-TY, un truc par ici. Donc la démonstration dit, comme on comprend que F de ce point intermédiaire qui est d'abscisse TX plus 1-TY, c'est ici, et que par définition c'est en dessous d'être sur le segment, donc la démonstration est bonne, c'est juste une traduction directe, cette inégalité, c'est une traduction directe de la différence de position. F étant convexe, là c'est quand tu es au-dessus de CF, donc M est situé au-dessus du point d'abscisse TX plus 1-TY, F de TX plus 1-TY qui est celui d'en dessous, qui est sur la courbe, d'où l'inégalité. Puis l'idée c'est que bon, ben, ça vous pouvez l'apprendre par cœur. Voilà, la vidéo classique est finie, maintenant je vais passer à une démonstration. Avant ça, j'ai peut-être un dernier commentaire quand même, qui est celui-ci. Il y a un lien logique, il y a un lien logique entre convexité et concavité. Donc si F est convexe, moins F est concave, et respectivement si F est concave, moins F est convexe. Je vais vous montrer un petit exemple ici. Je prends E2X, elle est convexe, moins E2X, elle est concave. Rappelez-vous, E2X a l'air de sourire, moins E2F a l'air de faire un peu la tranche. Voilà pour la fin de cette vidéo, posez-moi des questions dans le forum si vous en avez, et je vous retrouve dans l'autre vidéo, la prochaine qui sera bonus pour ceux que ça intéresse d'avoir la démonstration complète.

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