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Dans cette vidéo, le concept de point d'inflexion est présenté. Pour qu'un point A soit un point d'inflexion d'une fonction f en 2 fois dérivable, il faut que la courbe cf traverse la tangente TA en A. Cela se produit lorsque la dérivée seconde change de signe en A. Visuellement, on peut observer un changement de comportement entre concavité et convexité à ce point. De plus, le point d'inflexion correspond à un maximum en valeur absolue de la pente de la tangente en ce point. Il est important de noter que f'' de x égal à zéro n'implique pas nécessairement un point d'inflexion, cela dépend du comportement de la fonction autour de ce point.

Dans cette vidéo on va présenter la notion de point d'inflexion. Alors laissez-moi revenir ici. Un point d'inflexion, donc on va définir ça. Soit f une fonction en 2 fois dérivable, donc toujours la même définition, avec des fonctions qui fonctionnent bien sur un interval I, cf, sa courbe, etc. Pour un point A quelconque, on définit la tangente au point A, TA. La tangente à la courbe f au point A. Très bien. On dit que A, très important, on dit que A est un point d'inflexion pour la courbe si au point A la courbe cf traverse TA. La vraie définition du point d'inflexion c'est un endroit où la courbe traverse la tangente, un endroit où, si vous voulez avec le corollaire qui est ici que je fais maintenant, un endroit où la dérivée seconde change de signe. Je vais donc vous montrer à quoi ça correspond sur un dessin. Ce sera peut-être plus facile que de parler comme ça. Ici on retrouve ma fonction x3 que j'ai beaucoup utilisée dans ce chapitre. Alors qu'est-ce qu'elle a cette fonction x3? Déjà on a l'impression qu'il y a plusieurs zones, une zone où elle est concave, ici, la tronche c'est concave, et une zone où elle est contente. L'espèce de sourire c'est convex. On a défini ça de deux manières, originellement la définition la plus fondamentale c'est quand on est au-dessus de ces sécantes, comme ici par exemple, on appelle ça concave, quand on est en dessous de ces sécantes, par exemple un point ici par exemple, et un point ici, on voit que la sécante est au-dessus de la courbe, on appelle ça convex. Puis on a vu pour les fonctions dérivables, on peut aussi non pas comparer la position de la courbe aux sécantes, mais la position de la courbe aux tangentes. Alors là ça s'inverse, c'est-à-dire que là c'est vrai qu'on est au-dessus des sécantes, des cordes, mais par contre si je m'amuse à tracer une tangente, comme ici par exemple, je vois que je suis en dessous de la tangente. C'est différent mais visuellement on le comprend. Ce n'est pas la même chose, c'est au-dessus des sécantes, pour concave, en dessous de la tangente. Convex c'est au-dessous des sécantes, mais au-dessus des tangentes. Donc voilà, revenons là-dessus, regardons un peu les tangentes. Là la tangente ce que je vois c'est qu'elle est au-dessus, donc c'est bien concave, c'est bien, je suis content, et là-bas je suis en dessous, donc c'est bien convex. Donc on voit bien qu'il y a un point où il se passe quelque chose, qu'on passe de au-dessus à en dessous, il y a une transition. Et c'est à cette transition, donc ce changement de comportement entre concavité et convexité, ou convexité et concavité selon les fonctions, ça peut être dans un sens ou dans l'autre, la petite colline là, c'est ça qu'on va appeler un point d'inflexion. C'est l'endroit où on passe d'un comportement concave, ici, à un comportement convex. Il y a un point précis où ça arrive, et en ce point on peut voir que la tangente elle est à la fois au-dessus de la courbe à gauche, côté concave, et à la fois en dessous de la courbe, à droite, côté convex. Et si on imagine dans notre tête que la tangente est fixée, on voit que la courbe va venir en effet traverser la tangente. C'est ça qu'on voulait dire dans la définition du point d'inflexion. Alors un truc intéressant, une implication de ça, c'est que le point d'inflexion est en effet un point de pente maximale de la tangente. C'est un maximum en valeur absolue. Par exemple là ici, vers le bas, tout à gauche, vers moins l'infini, la pente plus l'infini est quasiment verticale, parce que la fonction descend très vite. Je ne parle pas de ça. Là j'arrive, je suis très positif, et je décroche, décroche, décroche, décroche, décroche, ma pente là est zéro. Zéro. Puis elle devient négative, donc ma pente n'arrête pas de décroître. Elle décroît, elle décroît, elle décroît, elle devient très négative au point d'inflexion dont on parlait, et elle a l'air de devenir moins négative après, puis de remonter. Et donc c'est intéressant parce qu'on se rend compte que le point d'inflexion ça correspond à un point où en valeur absolue en tout cas, la pente est la plus importante. C'est là qu'elle est le plus négative. Avant elle était vers zéro, elle est négative et elle remonte vers zéro. Ça sera aussi une manière de voir le point d'inflexion. J'espère que vous comprenez donc que c'est ce point où il y a un changement de comportement entre concavité et convexité, et aussi le point où on traverse, où la courbe, on peut dire que la courbe traverse la tangente. Alors dernier petit point, je voulais absolument revenir et refaire un bilan pour marquer un peu les esprits, refaire un bilan très clair. On peut dire que si f est deux fois dérivable sur i, f va être convexe, si et seulement si f' est croissante, et si et seulement si f' est positive. Vous pouvez vérifier ça avec le petit dessin ici, pour vérifier le comportement de f', ok, quand la tangente passe de très négatif à positif, f' est en train d'augmenter, c'est vrai que c'est convex. De la même manière, f est concave, si et seulement si f' est décroissante, si et seulement si f'' est négative. C'est un peu un bilan de ce qu'on a vu dans les deux, trois dernières vidéos. Sur les points d'inflexion, énorme erreur à éviter. On appelle le point d'inflexion un point où f' change de signe. C'est aussi un point où f' change de variation. Ces deux définitions-là sont parfaitement équivalentes. C'est un point où la dérivée seconde change de signe, c'est un point où la dérivée simple change de variation, passe de croissante à décroissante, ou de décroissante à croissante. Donc on pourra dire qu'un point d'inflexion, ça implique f'' de x, f'' de x qui est égal à zéro. Très bien. Mais attention, f'' de x égal à zéro n'implique pas un point d'inflexion. Ça c'est faux. Par exemple, un point comme ça, ça sera le point zéro pour la fonction x puissance 4. De même manière que celui-ci, donc là c'est f'' égal à zéro à cet endroit-là, de la même manière ici, f'' égal à zéro. En effet c'est x puissance 4. On va la dériver deux fois, ça fait 4x3, ça fait donc 12x². Très bien. En ce point, on a f'' égal à zéro. f'' de zéro égal à zéro. Pour autant, ce n'est pas un point d'inflexion, parce qu'il n'y a pas de changement de comportement, de concavité à convexité. La convexité, elle est toujours convexe. Il n'y a pas non plus de changement, enfin il n'y a donc pas de changement de comportement de la pente. f' ne fait qu'augmenter, parce que f' est très négative, augmente, augmente, augmente, augmente, jusqu'à devenir nulle ici, puis elle augmente en devenant positive. f' ne change pas de variation, elle ne fait qu'augmenter, elle n'est que croissante. Ce n'est pas un point d'inflexion. Pour autant, dans les deux exemples, on a bien f'' de x et f'0. C'est juste pour insister là-dessus. J'espère que c'était très clair. Je vais vous laisser, c'était une longue vidéo, je voulais bien insister sur certains éléments. S'il y a des questions supplémentaires, bien sûr, c'est dans le forum. Et je vous dis à la prochaine!

Point d'inflexion

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