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Ce cours traite de l'étude d'une famille de fonctions de la forme E(2x)/x^n, où n est un entier naturel non nul. On commence par déterminer l'ensemble de définition de ces fonctions, en excluant les valeurs de x pour lesquelles le dénominateur est nul. Ensuite, on examine la dérivabilité de ces fonctions, qui dépend uniquement de la dérivabilité de l'exponentielle et des polynômes. Ensuite, on suppose que n est pair et on dresse le tableau de variations de la fonction f, en analysant notamment les signes des expressions E(2x) et x^(n-1) pour déterminer les variations de f'. On déduit ensuite les limites de la fonction f pour x tendant vers l'infini et vers zéro. Enfin, on étudie le cas où n est impair et on effectue les mêmes étapes pour déterminer les variations et les limites de f dans ce cas.

On vous donne une fonction, E2x sur x puissance n. Alors, là déjà on commence avec un exo où on a n anti-naturel non nul, on sent qu'il va falloir peut-être faire une distinction de cas, et on étudie en fait ce qu'on pourrait appeler une famille de fonctions, donc une famille qui va dépendre d'un entier n, donc on aura la fonction par exemple f1 qui sera E2x sur x puissance 1, f2 qui sera E2x sur x puissance 2, etc. Donc on va étudier un peu un ensemble de fonctions et voir si elles ont un peu tous le même comportement ou pas. Bon c'est parti, petit 1 petit a, quel est le plus grand ensemble de définition possible de f ? Ça c'est assez simple, on voit tout de suite que le problème c'est le fait qu'il y ait une fraction, donc on ne veut pas que le dénominateur soit nul, donc on va pouvoir répondre directement, tout le reste c'est défini, il n'y a aucun problème. On ne peut pas juste diviser par 0, donc voilà. Petit b, quel est le plus grand ensemble de dérivabilité possible de f ? Ben f c'est la multiplication en gros d'une exponentielle et d'une fraction de polynôme, il n'y a aucun problème, elle va être dérivable sur tout son ensemble de définition. Il n'y a pas de problème spécifique, de toute façon les problèmes de dérivabilité pour une fonction en général, si elle est définie, sur certains points, ça va être uniquement pour la fonction valeur absolue et la fonction racine. Vrai, première question, question 2, supposons que n est paire. Pourquoi pas ? On nous dit de dresser le tableau de variation de f sans préciser les limites aux bornes. Donc petit a, soit on vous dit n est paire, il faut tout de suite l'exprimer. On va regarder, donc f est dérivable, donc on peut écrire, ben réécrivons quand même f de x avec notre expression, c'est e de x divisé par x puissance de p, puis on va essayer de comprendre pourquoi, enfin qu'est-ce que ça fait qu'il y ait une parité ou une imparité, à quel moment ça va faire ça, à quel moment ça va avoir un impact, à quel moment ça va avoir une utilité. On sait qu'elle est dérivable, donc on peut dire, quel que soit x qu'on dérive, c'est u prime v moins v prime u le tout sur v carré, donc u prime, donc c'est dérivé de x puissance de p fois l'exponential. Très très bien, il y a plein de trucs qui se factorisent, alors je vais factoriser e de x et x puissance de p moins 1. Si je fais ça, je me retrouve avec du, ben ici j'avais eu de x, x puissance de p, donc il me manque un x que je rajoute tout de suite, moins, ben là il y a tout ça, donc il ne reste plus que de p. Bon ben tout de suite, ça c'est positif strict, ça l'exponential est positif strict, ensuite il faut étudier le signe de x puissance de p moins 1 fois x moins 2p. Vous pouvez faire un tableau de signe, mais en gros ça va être assez rapide, petit tableau de signe avant de tracer f prime, mais petit x. x puissance de p moins 1, c'est une fonction x puissance, mais c'est une puissance paire. Comme c'est une puissance paire, on sait qu'elle part vers moins l'infini en moins l'infini, et vers plus l'infini en plus l'infini, donc si vous voulez, x puissance de 2p moins 1, c'est une fonction du type comme ça, plutôt qu'une fonction de ce type là, qui serait une fonction puissance paire x carré ou x quatre. Donc sachant ça, on va dire qu'il y a un changement de signe pour ce bout ici qui se passe en 0, je vais d'ailleurs les mettre de la même couleur, donc il y a un changement de signe pour 0 ici, et un changement de signe au niveau 2p ici. Donc quand x vaut 2p, la dérivée s'annule. Et donc si on complète le tableau proprement, je vais pouvoir dire... Et ensuite on a f prime lui-même, qui est la multiplication de ces deux-là, fois des termes positifs. Donc je peux écrire directement f prime. Un truc que j'ai oublié ici, c'est le fait que... Dans f prime de x, on a une division par un x, donc une double barre ici à la place du 0. Une double barre d'interdiction, la valeur 0 est interdite. Elle est de même interdite pour la fonction f. Et on est bon, on peut finir tout ça. Plus, ça monte. Moins, ça descend. Plus, ça remonte. Voilà le tableau de variation pour la fonction f, dans le cas où n est paire. Puis calculer les limites, etc., et compléter le tableau. On peut faire les faciles en premier. Les plus simples, ça sera la limite de f en plus l'infini. Limite de f de x quand x est envers plus l'infini, ça c'est une question de cours, c'est la limite de E de x sur x puissance n en plus l'infini. On sait par croissance comparée que cette limite est égale à plus l'infini. Donc là, on ne s'embête pas, on écrit juste le résultat. Pour le coup, ça, ça sera la même que n soit paire ou impaire, il n'y a aucun problème. La limite en moins l'infini, là c'est encore autre chose, en moins l'infini, c'est aussi très simple. En moins l'infini, qu'est-ce qu'on a ? On a une fonction qui, en gros, en moins l'infini E de x, tend vers 0. L'autre, c'est du 1 sur x. Donc en fait, je vais pouvoir le faire, je vais le détailler ici. Donc 1 sur x puissance de p tend vers 0, donc ça fait du 0 fois 0 plus, ça me fait 0. Je pourrais même mettre 0 plus, parce que tout est positif. Ça c'est positif, ça c'est positif, donc c'est tend vers 0 plus. Donc ça, très facile. Ensuite, les dernières limites qui restent à calculer, ce ne sont pas celles en moins l'infini et plus l'infini, mais celles en 0 moins et 0 plus. En 0 plus, c'est-à-dire quand j'arrive par ici, je sens que c'est plutôt plus l'infini. Vu que je vois le tableau, je sens un plus l'infini ici, et un plus l'infini en 0 moins. Encore une fois, il suffit de regarder E de x tend. Si j'avais x tend vers 0 moins, c'est quand même un carré ce truc-là, donc c'est xp au carré. Ça rend tout positif, et donc je retrouve plus l'infini ici dans tous les cas. Donc 0 plus et 0 moins, on trouve dans tous les cas 1 fois du plus l'infini, ça fait plus l'infini. A priori comme ça, ce n'est pas très compliqué. Ce qui n'est pas simple dans cet exercice, là c'est la version easy de l'exo, c'est la version pas trop compliquée. Ce qui n'est pas simple, c'est quand on vous dit étudiez, faire le tableau. Et si vous êtes tout seul, vous lancez un tableau avec x puissance n, vous allez devoir remarquer vous-même qu'il faut faire un k-pair, un k-impair. Là l'exercice est assez sympa. La version pour les futurs ingénieurs, la version prépa, ça sert vraiment à débrouiller vous. Et si vous ne vous rendez pas compte qu'il faut faire une distinction entre les pairs et les impairs, vous êtes foutu. Là on vous la donne, donc ça se déroule. On va quand même finir et voir ce qu'il se passe pour les impairs. Donc si on suppose maintenant question 3. Qu'est-ce que c'est qu'un k-pair ? Alors c'est intéressant en fait, tout ça est positif. C'est là qu'il y a une énorme différence avec tout à l'heure. C'est qu'ici tout à l'heure on avait quelque chose qui était source de problèmes en fait, qu'on avait quelque chose qui allait changer de signe dans le x, donc ça allait compliquer notre tableau. Ici je n'ai pas ça. Ici j'ai juste du positif parce que c'est au carré, du positif, du positif. Il n'y a que 2p plus 1 qui sera un changement de signe. Donc ça va donner quoi ? Quand je fais mon tableau, c'est beaucoup plus simple. Ça va ressembler pas mal, mais c'est beaucoup plus simple à tracer. Donc j'aurai la valeur 0, qui est interdite pour f' et pour f, et la valeur 2p plus 1. Donc en gros la valeur 2p plus 1 qui va être une valeur aussi de changement de comportement. Donc 2p plus 1 qui est ici. Donc qu'est-ce que j'ai ? Avant 2p plus 1, f' va être négatif. Juste après, il va être positif. Facile. Ça fait moins, moins, plus. C'est x f' f, moins l'infini, plus l'infini. Donc une fonction qui chute, une fonction qui rechute, et qui monte. Donc qu'est-ce qu'il faut faire maintenant ? Calculer les limites. On a limite. En moins l'infini, x 2p plus 1 tend vers moins l'infini. Et donc ça va tendre vers 0 moins. C'est la même chose que tout à l'heure. Donc limite en plus l'infini de f égale plus l'infini. Je fais pas de chichi là-dessus. C'est dans 0, ça va changer. Pend 0 moins. Il n'y a aucun problème pour e2x, qui tend toujours vers e puissant 0 égale 1. Et ce petit terme-là, lui va nous embêter. C'est-à-dire que celui-ci, en gros, je vais avoir du 1 sur 0 moins en puissance impaire. Donc ça va être du 1 sur... Enfin du 1 sur, pardon, 0 moins en puissance impaire, ça fait du 1 sur 0 moins, fois 0 moins ça fait 0 plus, mais fois 0 moins une troisième fois par exemple. Si c'est x puissance 3. Donc ça va me faire du 1 sur 0 moins. Tout le temps. Donc ce machin va tendre vers moins l'infini. Et c'est là une des grosses différences avec le cas précédent. Donc on voit ici qu'on avait une flèche qui sombrait. En 0 plus, par contre, ça ne changera pas grand-chose. EDX fois 1 sur x de p plus 1. 0 plus, on est positif, parce qu'on arrive à ce côté-là. Là, il n'y a pas grand-chose à faire. Ça, ça tend vers 1 toujours. Ça, ça tend vers 0 plus, vers plus infini. Donc le tout tend, quand x tend vers 0 plus, quand x tend vers 0 moins, vers plus infini. Là, il n'y a pas trop de problème. Plus infini. Voilà. Donc ça se fait. J'aime bien parce qu'il y a des choses qui sont un peu plus compliquées. Par exemple, quand x tend vers 0 plus, ça se fait. J'aime bien parce qu'il récapitule bien. C'est un bon récapitulatif de ce qu'il faut faire dans une étude de fonctions et de limites. Mais vraiment, ce qui était intéressant, c'est cette division des cas.

Étude f : Niveau MPSI mais outils de première !

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