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Polynômes du Second Degré

Dans ce cours, nous avons vu différentes méthodes pour trouver des racines de fonctions polynomiales. Pour le premier exemple, on peut calculer le delta ou utiliser la forme canonique de la fonction. Pour le deuxième exemple, on peut repérer une densité remarquable ou utiliser une racine évidente pour trouver les autres racines. Pour le troisième exemple, il est possible de factoriser la fonction et repérer des racines évidentes. En somme, il est utile de connaître certaines formules et de tester différentes valeurs pour trouver les racines.

Quelques petits exemples pour trouver des racines de fonctions polynomies. Premier exemple, f2x égale moins x2 plus 2x moins 3. Donc il y a deux manières de faire, soit vous calculez directement le delta, vous pouvez dire delta égale moins 2 au carré moins 4 fois a fois c, donc fois 1 fois 3 ici. Vous remarquez que j'ai mis le moins en facteur, en général je mets souvent le a en facteur par réflexe. Et là on trouve que ça fait donc 4 moins 4 fois 4. Ça c'est négatif, il n'y a donc aucune racine. Donc c'est très bien de faire le delta, ça marche. Quand des fois il apparaît que la fonction a une forme canonique assez évidente, vous pouvez aussi repartir sur un calcul de forme canonique. C'est pas nécessaire de le refaire à chaque fois, puisqu'on a démontré qu'on pouvait utiliser le delta, on pouvait aller vite comme ça, mais x2 moins 2x, j'ai envie de l'écrire x moins 1 au carré, moins 1 plus 3 plus 2. Et là tout ce qu'on peut dire c'est que cette chose étant positive ou nulle, cette chose étant strictement positive, le tout est strictement négatif. Si f2x est tout le temps, quel que soit x, strictement négatif, ça veut dire qu'il est impossible qu'elle soit égale à 0, il n'y a donc aucune racine. Donc il n'y a aucune racine d'après le delta négatif, également par cette méthode là. Alors, petit b, on vous dit g2x égale x2 plus x plus 1 quart. Là tout de suite, ce qu'il faut repérer, c'est une densité remarquable, c'est à dire 1 carré parfait. Il n'est peut-être pas évident à voir, mais soit vous calculez le delta, puis vous allez retrouver que ça fait 1 au carré moins 4 fois 1 fois 1 quart égale 0. Donc au cas où vous n'avez pas repéré le carré parfait, le calcul du delta qui va être nul va vous le dévoiler. Moi je préfère vous encourager à toujours un peu tester dans votre tête ce genre de trucs. Se dire attendez, x carré c'est 1 carré parfait, 1 quart c'est 1 demi au carré. Est-ce que ça ne serait pas une formule au carré en vérifiant que ça, ça marche bien? Que ces deux carrés, a carré plus b carré, se complètent bien d'un 2ab si vous voulez, en utilisant une densité remarquable. En faisant ça, on reconnaît tout de suite que c'est le développement de x plus 1 demi au carré. Donc on peut dire que l'ensemble des racines, c'est pas vraiment les solutions, G a une unique racine qui est moins 1 demi. Le delta va vous aider à voir ça, mais je pense que vous pouvez le détecter vous-même. c h2x égale x carré fois 2, donc je vais mettre 2 en facteur, x carré par réflexe comme d'hab, plus x, moins 6. Je vous conseille d'apprendre par cœur une liste de certains polynômes un peu classiques. C'est à dire qu'il y a beaucoup de polynômes qui vont avoir plus de racines, qui sont utilisés par les profs de maths en premier terminal, où les racines de ces polynômes sont souvent 1, 2, 3, moins 1, moins 2, moins 3. Ça fait un certain nombre de polynômes quand on mélange ceux qui ont une racine 1 et 2, ceux qui ont une racine 1 et 3, moins 1 et 2, moins 1, moins 2, moins 1, moins 3, il y en a un certain paquet, mais il y a quand même, je vois ça avec le recul, il y a quand même un certain nombre qu'on voit tout le temps. Ça peut être pratique de s'en souvenir. Sinon ici vous pouvez utiliser la méthode de la... Si vous ne connaissez pas par cœur, la méthode un peu moins rapide mais toujours très rapide, c'est repérer une racine évidente. Pour repérer une racine évidente, il faut mettre une valeur de x assez simple dans H et voir si ça fait 0. Par exemple, le premier à essayer tout le temps, c'est 1. H de 1, ça fait quoi? Ça fait 2 fois 1 plus 1, 2, moins 6, moins 4. C'est mort. On peut essayer 2 ensuite. 2 au carré, 4, plus 2, 6, moins 6, 0. Parfait. On a H de 2 égale 2 fois 2 au carré plus 2, moins 6, égale 0. Donc 2 est racine de H. Et quand vous avez trouvé une racine évidente, comme on les appelle, vous pouvez utiliser ce que vous savez sur les relations entre coefficients et racines, c'est-à-dire le fait qu'on a le produit des deux racines qui est égal à C, et la somme des deux racines qui est égale à moins B. Si vous faites ça, vous allez pouvoir trouver la deuxième racine tout simplement. Or, le produit des deux racines vaut moins 6, donc 2 fois quoi également 6? Moins 3, et racine également. Voilà. C'est une méthode qui utilise un peu ce qu'on peut connaître sur les racines. C'est un peu plus avancé que de faire le delta, le delta on pourrait le faire aussi. Sinon, on peut calculer delta égale 1 au carré, moins 4 fois 1, fois moins 6, égale 1 moins 24, 25, égale 5 au carré. C'est positif, donc il y a deux racines. On a donc les racines x1 égale moins B, moins 1, moins racine de delta, moins 5, sur 2 fois A. Tandis que je considère ce polynome, c'est donc 2. x2 égale moins 1, plus 5, sur 2. On trouve ici, moins 1 moins 5 ça fait moins 6, dit à part 2, moins 3. Moins 1 plus 5 ça fait 4. On va mettre la barre comme ça, ça fait 2. On retrouve 2 et moins 3 de manière classique. Mais je vous encourage à utiliser ce genre de méthode. Ça ira plus vite, et ce sera un peu plus facile. Il y a trois autres ici. Je vous laisse les faire en bonus. Il suffit de factoriser quand c'est possible. Par exemple, ici on peut repérer que ça se factorise par 3. Regardez si à chaque fois il n'y a pas de racines évidentes. Et sinon, appliquez le delta. Voilà, ça fait pas mal d'exemples et j'espère que c'était assez clair.

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