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Suites Numériques

Cet article explique l'utilisation des suites pour suivre l'évolution de données économiques ou démographiques. Le texte donne un exemple de ville qui a augmenté de 10% chaque année depuis 2018, pour montrer comment les suites peuvent être utilisées pour tracer ces évolutions. Le texte explique comment chaque terme de la suite peut être calculé, et justifie que cette suite est en réalité géométrique plutôt qu'arithmétique. Il explique également comment la raison de la suite peut être trouvée, et fournit des formules pour calculer chaque terme.

Un usage très classique des suites, c'est l'évolution année par année de certains nombres en économie ou en démographie. Par exemple, ici on vous dit, une ville comptait 10 000 habitants en 2018, chaque année, on sait que le nombre d'habitants augmente de 10% par rapport à l'année précédente. Genre une ville attractive ou je ne sais quoi. On attuelle le nombre d'habitants en 2018 plus N, donc on comprend que U0, c'est vraiment l'année de départ 2018, donnée la valeur de U0, on comprend que U0, c'est le nombre d'habitants en 2018, c'est donc 10 000, et ensuite U1, on vous dit que c'est plus 10% par rapport à l'année précédente, c'est donc 10 000 plus 10% de 10 000. Donc ça, ça fait 11 000. Justifier que la suite UN est une suite géométrique et préciser sa raison. Ce qu'il faut expliquer ici, c'est comprendre comment on fait, parce que là, quand j'ai fait U1, j'ai rajouté plus 10%, donc on se dit, si je rajoute un truc, en fait c'est plutôt arithmétique, vu que je fais une somme, je rajoute un terme. Mais si on réfléchit un peu, par exemple, si je faisais U2, je dirais que c'est U1 plus 10% de U1. Et donc c'est U1 plus 10% de combien vaut U1? De 11 000. Si vous regardez bien, le terme que j'ai ajouté ici, c'était 10% de 10 000, c'était 1 000. Le terme que j'ajoute ici, c'est 10% de 11 000, donc 1 100. Là en fait, ça c'est 1 000, ça c'est 1 100. Ce n'est pas possible que ce soit une suite arithmétique, parce que si c'était une suite arithmétique, il faudrait que j'ajoute deux fois la même chose. Non, ce qu'il faut, c'est comprendre plus généralement quel est vraiment cet ajout qu'on fait. Donc quand on vous dit qu'on passe d'une quantité, je ne sais pas, à une quantité grand Q, on vous dit qu'elle gagne plus 10%. Qu'est-ce qu'on fait? On arrive à Q plus 0,1, 10 sur 100 c'est 0,1, de Q. Et ça, je peux factoriser par Q, ça fait 1,01 fois Q. Oups, il n'y a pas de 0 ici, donc c'est 1,1 fois Q. Et en fait, je comprends que je passe de Q à 1,1 fois Q, c'est bien une multiplication. Donc en fait, j'ai bien un phénomène géométrique ici. Je comprends que chaque année, ma quantité d'habitants dans le village va être multipliée par 1,1. C'est pour ça que multiplier par 1,1, ça correspond à rajouter une quantité mais qui elle-même est de plus en plus grosse. C'est un peu comme les intérêts à la banque, il y a pas mal d'exercices du même genre, vous mettez de l'argent à la banque et ça augmente de 5% par an, c'est exactement le même type d'exercice. Donc ici, je comprends que c'est un phénomène géométrique parce que chaque année, donc si je passe de l'année N à l'année N plus 1, je comprends que QN plus 1, c'est 1,1 fois l'année précédente. Donc ici, on a UN plus 1 égal 1,1 fois UN, et donc c'est une suite géométrique, je peux écrire que UN égal U0 fois 1,1, la raison, puis sans scène. Qu'est-ce qu'on me demandait? Il dit que c'est une suite géométrique et préciser sa raison. Bon ben en fait, je l'avais fait, c'est une suite géométrique, je viens d'expliquer. La raison est 1,1 et donc l'expression récurrente d'un terme à l'autre, c'est celle-ci, l'expression explicite pour calculer tout terme, c'est celle-ci. Sur ce, je vous dis à la prochaine pour une prochaine vidéo.

Application type des suites géométriques

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