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Dans ce cours, nous calculons la somme des 25 premiers entiers naturels pairs. Pour résoudre cet exercice classique, nous utilisons nos connaissances sur les suites arithmétiques et géométriques, ainsi que sur les formules pour les sommes de termes de ces suites. Nous identifions rapidement que la somme est une suite arithmétique de raison 2. Nous écrivons la suite sous forme de combien de fois 2 chaque nombre est égal, en sachant que le 25ème terme est 24 fois 2 et non pas 25 fois 2. Nous appliquons la formule de la somme des n premiers entiers pour obtenir le résultat final : 300.

Un exercice très classique, très simple dans son énoncé, calculez la somme des 25 premiers entiers de naturel pair. Déjà, dans le schéma du cours qu'on peut avoir en tête, on sait que nous on connaît les définitions des suites, on connaît ce que c'est une suite arithmétique, une suite géométrique, et on connaît les formules pour les sommes des termes des suites arithmétiques et géométriques. Donc tout de suite on sent que la somme ça va être soit l'un soit l'autre, soit la somme d'une suite arithmétique, soit la somme d'une suite géométrique. Tout de suite en voyant les mots-clés de cet exercice classique, on sait qu'on va devoir les chercher dans cette partie-là de notre tête où on a rangé nos sous-chapitres de cours. Donc, écrivons quand même un peu à quoi elle ressemble. Je l'appelle S et on me dit les 25 premiers entiers naturels pairs. On peut oublier 0, ça serait le premier, puis 2, 0 est le premier nombre pair, parce que c'est 2 fois 0, il s'écrit bien 2 fois quelque chose, plus 4, plus 6, plus 3 petits points, donc ça c'est le premier, ça c'est le deuxième, ça c'est le troisième, etc. Et en fait ils sont égaux à 0 fois 2, plus 1 fois 2, plus 2 fois 2, plus 3 fois 2, plus 3 petits points. Donc le premier, le deuxième, le troisième. Donc on comprend que le troisième c'est celui qui est 2 fois 2, le quatrième c'est celui qui est 3 fois 2, donc le vingti-cinquième, c'est celui qui va être égal à 24 fois 2. Pourquoi ce n'est pas 25 fois 2? Parce qu'en fait ça serait 25 fois 2, j'en aurais 1, 2, 3, 4, 5 jusqu'à 25, et j'en aurais un 26ème à cause de 0. En fait c'est le fait qu'on commence à 0, qui fait que les 25 premiers ça commence de 0, ça va jusqu'à 24. De toute façon c'est simple à vérifier, vous avez bien, quand j'ai écrit sous leur forme de combien de fois 2 est-ce qu'ils sont, en tant que nombre pair, quand j'ai écrit 1 fois 2, 2 fois 2, 3 fois 2, je vois bien qu'ici j'en ai de 1 à 24, plus 25, c'est bon, je suis garantie d'avoir 25. Donc c'est toujours un petit rappel de toujours faire attention, quand vous commencez à 0, de ne pas calculer un terme en trop. Donc on vous dit, la somme des 25 premiers entiers naturels pairs, on comprend que ça en fait c'est, il y a plusieurs manières de faire la question, on comprend que c'est une somme, c'est la somme des termes d'une suite arithmétique, de raison combien? De raison 2. Mais en fait je peux même simplifier ça, écrire que c'est 2 fois 1 plus 2 plus 3 petits points jusqu'à 24. Si je fais ça, je peux appliquer directement la formule du cours, donc rappel, rappel, on a 1 plus 2 plus 3 petits points plus n, la somme des n premiers entiers, qui vaut n fois n plus 1 l'entier suivant, divisé par 2. C'est juste un petit rappel de cours que je vous remets là. On va appliquer cette formule, ici tout bêtement, on va l'appliquer à notre cas, à nous. Donc c'est 2 fois la somme des 24 premiers entiers, donc de 1 à 24, c'est 24 fois 25 sur 2. Les deux vont avoir le bon goût de se simplifier, et ça va nous faire égal 24 fois 25, 24 astucieusement c'est 6 fois 4, 3.25, pourquoi je dis ça? Parce que 4 fois 25 ça fait 100, et ça m'aurait calculé 600. Donc voilà, c'est assez simple. Vous pourriez aussi uniquement reconnaître une suite de raison 2 arithmétique, et appliquer la formule un peu plus générale qu'on va voir dans une autre vidéo, de la somme des termes de suite arithmétique. Mais vu qu'ici on peut mettre en facteur 2 et reconnaître les 24 premiers entiers, je préférais partir là-dessus. J'espère que c'était clair, et je vous dis à la prochaine pour une prochaine vidéo.

Somme de termes d'une suite arithmétique

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