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Dans cet exercice de mathématiques, il est demandé de calculer deux sommes. La première est une somme de termes d'une suite arithmétique et peut être résolue avec la formule générale où S est égal à 1 moins Q puissance le nombre de termes sur 1 moins Q. Dans cet exemple, Q est égal à 3 et le nombre de termes est 12. La deuxième somme est une somme de termes d'une suite géométrique, cependant, les termes ne sont pas donnés sous forme de puissance. En observant les alternances de signes, il est facile de comprendre que la raison est -2 et que le dernier terme est -2048. La formule générale est appliquée avec Q étant -2 et le nombre de termes étant 11. La somme finale est obtenue après des calculs mentaux simples.

Première chose dans cet exercice, détecter de quoi il s'agit. On vous dit de calculer les sommes. Tout de suite, il faut savoir, il n'y a que deux types de sommes au programme, est-ce que ce sont des sommes de termes de suite arithmétiques ou de termes issus de suites géométriques? On va commencer avec la première, aS égale 1 plus 3 plus 3 au carré plus 3 petits points plus 3 puissance 12. Ils sont généreux, ils vous l'écrivent vraiment en forme de puissance. Nous, on sait. On voit ça dans le cours que 1 plus Q plus Q2 plus 3 petits points plus Q puissance N égale 1 moins Q. J'aime bien la retenir comme Q puissance le nombre de termes dans la somme. C'est pour ça qu'il ne faut pas se tromper. Le nombre de termes, c'est 1 plus 2, N, plus le premier ici, N plus 1. On peut écrire N plus 1 ici, mais retenez comme moyen, comme on dit, néo-technique, que c'est 1 moins Q puissance le nombre de termes. Sur 1 moins Q, on applique ici avec Q égale 3. On obtient tout de suite S égale Q égale 3 et quoi? Q égale 3 et N, le dernier terme, qui est égale à 12. On obtient S égale 1 moins 3 puissance le nombre de termes, donc 12 plus 1, 13, sur 1 moins 3. Je peux le réécrire, ça fait 1 moins 3, donc je vais faire fois moins 1 haut et en bas, et ça va me faire 3 puissance 13 moins 1, le tout, sur 2. Pas besoin d'écrire d'aller plus loin, il faut le laisser comme ça bien factorisé. Donc ça c'était assez simple. Petit b, ils ne vous ont pas fait le même cadeau, c'est-à-dire qu'ils ne vous ont pas écrit l'ensemble des termes sous la forme d'une puissance déjà, donc c'est à vous de faire le travail. Là il faut reconnaître que déjà il y a des moins tous les deux termes, donc il y a sûrement du moins 1 dans la raison. Parce qu'en effet, si on a un moins 1, puissance 1 ça fera moins 1, puissance 2 ça fera 1, puissance 3 ça fera moins 1, puissance 4 ça fera 1. En gros, s'il y a un terme moins 1, pour toutes les puissances paires, il vaudra plus, pour toutes les puissances impaires, il vaudra moins. C'est pour ça que ça va alterner un terme sur l'autre. Donc on sent ici quand même que 2, 4, 8, 1024, si vous avez un peu l'habitude de jouer avec les nombres, vous pouvez reconnaître que ça va être du 2 puissance n. Et en effet, on pourrait écrire que S, c'est égal à 2 puissance 0, moins 2 puissance 1, plus 2 puissance 2, moins 2 puissance 3, etc. Et on se rend compte en fait que c'est plutôt moins 2 puissance 0, il y a cette alternance des signes, qui fait que je comprends que la raison va pas être 2 mais moins 2. Plus moins 2 puissance 1, plus moins 2 puissance 2, plus 3 petits points, jusqu'à moins 2 puissance combien? 1024, je vous le dis, c'est 2 puissance 10. Donc on va aller jusqu'à plus moins 2 puissance 10, le dernier qui sera plus moins 2 puissance 11, qui sera le moins 2048. Oups, excusez-moi. J'applique la formule générique, où j'ai bien 1 plus Q plus etc. jusqu'à plus Q puissance 11, et j'obtiens 1 moins moins 2, c'est là qu'il ne faut pas se tromper, ce n'est pas parce que c'est une raison négative qu'il faut commencer à transformer les signes. Donc c'est 1 moins Q, 1 moins moins 2, puissance le nombre de termes, on a dit qu'il y en avait 11 plus 1 au tout début, donc ça fait 12, divisé par 1 moins moins 2. Et donc tout ça, ça fait 1 moins moins 2 puissance 12, le tout divisé par 3. 1 moins moins 2, ça fait 3. Et on peut calculer moins 2 puissance 12, vu qu'on avait moins 2 puissance 11 qui était le dernier ici, c'est moins 2048, si je refais fois moins 2, je comprends que c'est 4096, et donc ça me fait 1 moins 4096, puisque moins 2 puissance 12, vu que c'est une puissance paire, c'est équivalent à 2 puissance 12, divisé par 3, ce qui fait moins 4095 divisé par 3. Rapidement, je peux checker, 4 plus 9 plus 5, ça fait 18, c'est à dire que 4095 est divisé par 3, je peux encore simplifier mon expression, et je vais trouver, je vais aller un peu à tâton, 4000 c'est à peu près, je ne sais pas, 1300, 1300 fois 3, ça vous fait moins, ça fait 1300 fois 3, ça, ça fait 3900, et il reste pour aller à 4095, 195, je vais faire une petite aparté de calcul mental, le tout divisé par 3, et 195 divisé par 3, ça, ça ne va pas être trop compliqué, c'est moins 300 fois 3, plus, ça c'est 60 fois 3, 180, plus 5 fois 3, donc 65 fois 3, le tout sur 3. Ça, vous prenez le calcul, vous le faites en 2 secondes, mais c'est comme ça qu'on fait du calcul mental, moins 300 plus 65, ça fait donc moins 365, 1365. C'est fini pour cet exercice, j'espère que c'était assez clair, ce n'est pas trop compliqué, il faut juste bien détecter, le premier c'est une application directe, le deuxième, il faut détecter quelle est la raison, ne pas paniquer parce qu'il y a un signe moins, repérez le signe moins, entraînez-vous, parce que c'est ce genre de petit piège qui peut tomber souvent, en contrôle, etc., il faut juste s'habituer à savoir le gérer, puis y aller calmement, et ensuite je vais faire un peu de calcul mental, au cas où vous galérez, si vous n'avez pas de calculette, au moins c'est comme ça, vous aurez vu que c'est comme ça qu'on fait. Je vous dis à la prochaine pour une autre vidéo, bon courage pour la suite!

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