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Le cours porte sur l'application des suites arithmétiques à un problème pratique. Michael décide de faire un voyage à vélo de 2000 km de Paris à Stockholm. Le premier jour, il parcourt 20 km, puis chaque jour il ajoute 5 km de plus que la veille. Au bout de 10 jours, il a parcouru 400 km. Pour résoudre ce problème, on utilise les formules de suites arithmétiques. On note UN comme la distance parcourue le énième jour. On trouve que UN = 20 + (n-1) x 5, en utilisant la définition d'une suite arithmétique. Ensuite, on note SN comme la distance totale parcourue depuis le début. On utilise la formule de la somme des termes de la suite arithmétique pour exprimer SN en fonction de n. On obtient que SN = n/2 x (20 + (20 + (n-1) x 5)), ce qui simplifié donne SN = 35n + 5n^2/2.

Un exercice assez intéressant, c'est une mise en application des suites, arithmétiques en l'occurrence, avec un problème pratique. Vous avez Michael qui décide d'être assez courageux et de partir de Paris à Stockholm pour faire 2000 km à vélo. Premier jour, il fait 20 km. D'accord, donc le mec est chaud. Chaque jour, il fait 5 km de plus que le jour précédent, c'est-à-dire que le deuxième jour, il va faire 25 km, le troisième jour, il va faire 5 de plus, donc 30 km, le mec, au bout de 10 jours, il est à 400 km. Il est de plus en plus efficace. C'est une situation hypothétique. UN, la distance parcourue le énième jour, donc U1, premier jour, égale 20. Quelle distance parcourt-il le deuxième jour ? Vous avez U1 égale 20, U2, c'est ce qu'il a fait en U1, plus 5, on vous dit, le deuxième jour, il fera mieux de 5 km que le premier jour. Donc ça fait 25 km. Ensuite, exprimer UN en fonction d'aide en justifiant, on comprend de la même manière que U3, ça serait U2 plus 5 égale 30, et donc là, je commence à comprendre que dès que j'ai deux jours successifs, la différence entre deux jours successifs, c'est 5 km. Il fait mieux de 5 km. Donc la différence UN plus 1 moins UN, ça va être 5 km. J'ai une différence de deux termes consécutifs d'une suite qui est constante. C'est la définition de base d'une suite arithmétique. Je sais que c'est une suite arithmétique, de raison 5, je pars d'un certain point et j'ajoute 5 chaque jour. Pour toute n, je peux écrire que UN égale 20 plus n-1 fois 5. Pourquoi n-1 ? Parce qu'on commence à U1. Si je mets le premier terme ici, 20, si je mets n égale 1 dans l'expression, ça me fera bien 1 moins 1 fois 5 égale 0. L'erreur serait de mettre 20 plus 5 fois n. Dans ce cas-là, si je mettais U1, si je remplace n par 1 dans cette expression, ça ferait U1 égale 20 plus 1 fois 5, 25. Ça ne marche pas. L'idée, je vous fais un petit rappel ici, c'est que quand on part d'un certain terme, par exemple si on a U0, U1, U2, etc. jusqu'à UN, on fait plus la raison à chaque fois. Vous voyez bien que pour aller de U0 à UN, c'est un peu moins, c'est un peu plus long que d'aller de U1 à UN. Pour aller de U0 à UN, il y a tout ça. C'est pour ça que je dois bien rajouter n fois r. Pour aller de U1 à UN, il y a tout ça, c'est-à-dire qu'il y a ça en moins. C'est pour ça qu'on écrit n-1 fois r parce qu'il y a une fois r en moins qu'il faut considérer. Tout ça pour dire, vous pouvez retenir la définition suivante. On peut dire UN égale U0 plus nr. UN égale UN égale U1 plus n-1 fois r. U2, n-2 fois r. Et l'idée, c'est qu'à chaque fois, ce nombre-là plus celui-ci doit faire n. C'est comme ça que je le retenais à votre place. Vous avez ce nombre-là plus celui-là fait n. Donc si vous commencez à Q, vous devez rajouter n-Q fois r. Vous pouvez retenir comme ça et surtout ne pas faire cette erreur qui est une grande erreur classique d'exercice et de contrôle où on commence à mettre 5n ici alors qu'on partait de U1. Très bien. On vous dit ensuite, on note SN la distance parcourue au total depuis le début du parcours. Ça, tout simplement, on va utiliser la formule, on sent la somme, la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique. Vu qu'on vous dit SN la somme parcourue au total, ça va être U1 plus U2, etc. Donc regardons la question 3A qui illustre un peu le concept de la somme. Donc la somme totale de ce qui a été parcouru au premier jour, c'est U1 uniquement, 20 km. La somme totale de ce qui a été parcouru au bout de deux jours, S2, c'est U1 plus U2, donc c'est 20 plus 25, c'est 45 km. Et on vous dit ensuite, très bien, exprimer SN en fonction de n. Vous connaissez votre formule, donc la formule générale en français c'est SN égale le nombre de termes, n ici, parce qu'on fait SN c'est U1 plus U2 plus U3 plus Un. Des fois la formule vous est donnée en cours avec n plus 1 parce que c'est le nombre de termes qui commence à U0. Ici c'est n fois la moyenne du premier et du dernier terme de la suite. Je vais vous écrire quand même de la somme. U0, pas du tout justement, ici c'est U1, erreur qui est très facile à faire, comme vous voyez. Plus Un égale. Donc c'est en premier le nombre de termes, nombre de termes de la somme, et en deuxième la moyenne du premier et du dernier. Donc c'est pas U0 encore une fois, c'est U1 plus Un, puis on fait la moyenne de deux, donc divisé par deux. Donc ça, c'est ça, et Un, comme cette couleur là, c'est celui-là. On fait la moyenne du premier et du dernier. Quand on écrit ça, on trouve Sn égale n sur 2 fois 20 plus Un, qui était égal à 20 plus n moins 1 fois 5. Si je simplifie un petit peu, ça fait 40 moins 5, 35 plus 5n, fois n, donc 35n plus 5n au carré, divisé par deux. Il y a toujours un nombre entier, parce que quand vous regardez un petit peu, cette expression, quand vous regardez cette expression, vous verrez que si n est paire, cette expression est divisible par deux, et si n est impaire aussi. Donc il n'y a pas d'inquiétude à avoir là-dessus. Voilà l'expression qu'on attendait, et voilà la fin de cet exercice.

Application pratique de la somme des termes

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