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Suites Numériques

Ce cours traite d'un type de suite qui n'est ni une suite arithmétique ni une suite géométrique. Cette suite, appelée "suite arithmético-géométrique", est définie par récurrence en fonction de UN. 

La méthode pour étudier cette suite consiste à étudier une autre suite, VN, qui est une version décalée de la première. On cherche alors à démontrer que cette suite VN est plus facile à étudier et qu'elle correspond à une suite géométrique. 

Dans l'exercice, on donne les valeurs de U1 et U2, puis on demande de calculer V0. Ensuite, on cherche à démontrer que VN est une suite géométrique de raison 3 en calculant VN+1. En factorisant par 3, on obtient VN+1 = 3VN, ce qui permet de conclure que VN est bien géométrique de raison 3. 

En déduisant l'expression de VN en fonction de N, on obtient VN = 4 * 3^N. Enfin, on déduit l'expression de UN en fonction de N en utilisant la relation UN = VN - 2. Ainsi, UN = 4 * 3^N - 2. 

Il est recommandé de bien comprendre et maîtriser cet exercice, car il est très courant et peut tomber dans les évaluations. N'hésitez pas à poser des questions si nécessaire.

Ultra classique, un type de suite qui n'est pas vraiment une suite arithmétique et pas vraiment une suite géométrique. Ça, ça tombe tout le temps. Même en terminal, on en fait plein des comme ça. Donc vraiment très important à connaître, très très très classique. Une suite qui s'écrit UN plus 1, donc on la définit par récurrence en fonction de UN, égale 3 UN, super, donc s'il n'y avait pas ça là, 3 UN, c'est une suite géométrique. Plus 4, alors là, malheureusement, on pourrait se dire, oui mais attends, s'il n'y avait pas ce truc là, ça serait UN plus 4, ça serait une suite arithmétique. Donc c'est une suite qui est pile un peu un mélange des deux si vous voulez. Et il se trouve que ça, c'est un nom. Alors en terminal, on vous dit le nom des fois, ça dépend des profs, sinon vous le verrez peut-être dans le supérieur, mais le nom de ce truc là est tout bête, c'est une suite arithmético-géométrique. Vous n'allez pas savoir ça comme ça, mais c'est le nom qu'on lui donne, parce que c'est un peu, quasiment une suite géométrique, mais aussi quasiment une suite arithmétique. Et en fait, on va voir qu'il y a une méthode typique, qui est toujours la même, que je vous conseille de retenir, c'est qu'on va essayer d'étudier, toujours, une suite qui n'est pas trop loin, se rendre compte que cette suite pas trop loin de UN est beaucoup plus facile à étudier, et ensuite on va faire le lien entre les deux. Donc ici on va regarder, on étudie une suite pas trop loin, donc ce que je dis pas trop loin, c'est que VN c'est juste la même suite que là, UN, plus on la décale de 2. Il se trouve, donc l'énoncé va toujours vous donner ça, on va toujours vous donner, voilà VN, une suite qui n'est pas trop loin. Donc vous, vous n'êtes pas bon, ok. Et ensuite, vous allez vous rendre compte, comme par hasard, que cette suite qui vous a été fournie, donc l'exercice est bien fait, c'est fait pour marcher, comme par hasard, ça va être une suite qu'on connaît parfaitement dans le cours. Donc VN va se trouver être une suite géométrique, par exemple. Et ça, cette structure d'exercice, où on a un truc un peu bizarre, qui est pas loin de ce qu'on connaît, mais pas exactement, et ben boum, c'est corrigé dans l'exercice, on vous dit, ben c'est pas grave, on prend un truc qui est justement pas très loin, qui lui va être parfait, et ça vous permet de conclure. Donc faisons-le ensemble. On a U1 égal, si U0 égal 2, U1 égal 3 fois U0 plus 4, U1 égal 3 fois 2 plus 4, 10. U2 égal 3 U1 plus 4, égal 3 fois 10, 30, 34. Ok, très bien. Soit VN, la suite définie telle que VN égal 1 plus 2. Calculez V0. V0 égal, tout simplement, U0, auquel j'ajoute 2. Quand j'ajoute 2, ça donne quoi ? Ben U0 plus 2, ça fait 2 plus 2 égal 4. Petit but, démontrer que VN est géométrique de raison 3. Ben calculons VN plus 1. VN plus 1 plus 2. VN plus 1, je l'ai calculé déjà, enfin je la connais. Par définition, c'est 3 U1 plus 4 plus 2. Ça c'est U1 plus 1, c'est la définition qu'on a depuis le début. Ok, ben ça, ça fait 3 U1 plus 6. Bon ben là ça me démange, j'ai envie de démontrer, j'ai envie de factoriser par 3. Donc je fais tout de suite factoriser par 3. 3 fois U1 plus 2. Magnifique, U1 plus 2, c'est la définition même de VN. Je reconnais 3 fois VN. Comme VN plus 1 égale 3 VN, on n'en conclut que VN. La suite est géométrique de raison 3. Donc on multiplie d'un terme à l'autre par 3. De raison, oups, plus beaucoup de place, de raison 3. 3. En déduisant l'expression de VN en fonction de N, ben oui, tout bêtement, donc, pour toute N, pour toute N, VN égale V0 fois la raison puissance N. V0 étant égale à, on le fait ici, 4, VN égale 4 fois 3 puissance N. Petit D, enfin, la conclusion de l'exercice, en déduire, pardon, UN. On a UN égale, donc on avait VN égale UN plus 2. Moi ce qui m'intéresse c'est UN, donc tout ce que j'ai, ben oui ok, mais donc j'ai UN, c'est VN moins 2. Donc vous voyez la logique de l'exercice, c'est on vous file une UN bizarre, pas loin d'être quelque chose qu'on connaît, on vous file une VN qui n'est pas trop loin, elle, comme par hasard, elle était bien choisie, parce que par exemple plus 3 ça n'aurait pas marché, on l'a bien choisie, pouf, un bon décalage, l'exercice le fait pour vous. Et comme par hasard, elle est géométrique, et ça me permet de dire, ben comme UN égale VN moins 2, UN égale 4 fois 3 puissance N, ah quasiment géométrique comme on disait depuis tout à l'heure, moins 2, et voilà. Exercice très très classique, je vous conseille de le revoir, de bien l'apprendre, de bien le maîtriser, parce que ça tombe tout le temps, donc voilà. Très pratique à savoir, posez des questions dans les commentaires si vous avez besoin, et je vous dis à la prochaine.

Classique : suite auxiliaire

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